Ciąg i liczby pierwsze

[hiohiohio5555]

Ciąg \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=4n-13\). Znajdź wszystkie liczby naturalne k takie, ze wyrazy \(a_k,a_k_+_1,a_k_+_2\)są liczbami pierwszymi.

[irena]

Liczby \(a_n\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 4. Wśród trzech takich kolejnych liczb jedna musi dzielić się przez 3.
Jedyna liczba pierwsza podzielna przez 3 to liczba 3.
\(a_n=4n-13=3\\4n=16\\n=4\)
Jedyna trójka spełniająca warunek zadania to trójka:
\(a_4=3\\a_5=7\\a_6=11\)

[hadson172]

Sory ze odkopuję ale mogę zapytać po co jest wymagane pokazywanie ze któraś z liczb jest podzielna przez 3? Czy to wynika jakoś z własności liczb pierwszych czy co?

[Oski_Oskar]

Przepraszam, że odkopuję, ale właśnie robiłem to zadanie i może ktoś skorzysta.
O co chodzi z tym, że zawsze jeden wyraz w ciągu o trzech wyrazach i przyroście 4 jest podzielny przez 3?

Na początek: liczby, które dzielimy przez 3, mogą dawać reszty z dzielenia: 0, 1, 2.

Mamy więc 3 przypadki:

A) Pierwsza liczba w ciągu daje resztę z dzielenia przez 3: 1; następna liczba jest większa od poprzedniej o 4, czyli teraz reszta z dzielenia wyniesie: 2, ostatnia liczba będzie więc podzielna przez 3.
Przykład:
pierwsza liczba: 4, 4:3=1 r. 1;
druga liczba: 8, 8:3=2 r. 2;
trzecia liczba: 12, 12:3=4 r.0 (liczba podzielna przez 3)

B) Pierwsza liczba w ciągu daje resztę z dzielenia przez 3: 2; następna liczba jest większa od poprzedniej o 4, czyli teraz reszta z dzielenia wyniesie: 0.
Przykład:
pierwsza liczba: 5, 5:3=1 r. 2;
druga liczba: 9, 9:3=3 r. 0; (liczba podzielna przez 3)

C) Trzeci przypadek wiadomo, pierwsza jest już podzielna przez 3.

W zadaniu mowa o liczbach pierwszych, a oczywiste jest, ze jedyną liczbą pierwszą podzielną przez 3 jest ona sama. Szukamy więc wyrazu z ciągu, dla którego uzyskamy liczbę 3. Pasuje 4k-13=3 dla k=4. Resztę wyrazów z ciągu liczymy dla k=4 i jeśli liczby też są pierwsze, to znaczy, że wszystko gra