Wyznaczanie ciągu geometrycznego

[MatCh]

Witam. Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacz ciąg geometryczny, w którym suma trzech początkowych wyrazów jest równa 13/2 a suma kwadratów tych wyrazów jest równa 91/4

Robię to w ten sposób:
\(\begin{cases}a_1 + a_2 + a_3 = \frac{13}{2} \\ (a_1)^2 + (a_2)^2 + (a_3)^2 = \frac{91}{4} \end{cases}
\begin{cases}a_1(1 + q + q^2) = \frac{13}{2} \\ (a_1)^2(1 + q^2 + q^4) = \frac{91}{4}\end{cases}
91(1 + q + q^2)^2 = 169(1+q^2+q^4)\)

No i dochodzę do gigantycznego wielomianu, w którym liczenie pierwiastków to mordęga... czy jest jakiś sprytny sposób, żeby to rozwiązać? Z góry dziękuję za pomoc

[irena]

(a, b, c)- trzy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego

\(\begin{cases}a+b+c=\frac{13}{2}\\a^2+b^2+c^2=\frac{91}{4}\\b^2=ac \end{cases} \\a^2+ac+c^2=\frac{91}{4}\\(a+c)^2-ac=\frac{91}{4}\\a+c=\frac{13}{2}-b\\(\frac{13}{2}-b)^2-b^2=\frac{91}{4}\\\frac{169}{4}-13b+b^2-b^2=\frac{91}{4}\\13b=\frac{78}{4}\\b=\frac{3}{2}\\ \begin{cases}a+c=5\\ac=\frac{9}{4} \end{cases} \\c=5-a\\a(5-a)=\frac{9}{4}\\20a-4a^2=9\\4a^2-20a+9=0\\\Delta=400-144=256\\\sqrt{\Delta}=16\\a=\frac{20-16}{8}=\frac{1}{2}\ \vee \ a=\frac{20+16}{8}=\frac{9}{2}\\ \begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{3}{2}\\c=\frac{9}{2} \end{cases} \ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases}a=\frac{9}{2}\\b=\frac{3}{2}\\c=\frac{1}{2} \end{cases}\)

Szukany ciąg:
\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{2}\\q=3 \end{cases} \ \ \ \vee \ \ \ \begin{cases}a_1=\frac{9}{2}\\q=\frac{1}{3} \end{cases}\)

[MatCh]

Dzięki serdeczne

[matematykajestsuper]

Tu rozwiązanie w formie wideo https://www.youtube.com/watch?v=JZ5M5-5MAbU