Nieskończony ciąg geometryczny.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Nieskończony ciąg geometryczny.

Post autor: Januszgolenia » 24 lip 2022, 11:45

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek IqI<1. Stosunek sumy \(S_n\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_p\) wszystkich wyrazów parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \( \frac{S_n}{S_p}=S_n-S_p\). Oblicz q.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2721
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1183 razy
Płeć:

Re: Nieskończony ciąg geometryczny.

Post autor: kerajs » 24 lip 2022, 13:07

Wstawiając:
\(S_n= \frac{a_1}{1-q^2}= \frac{q}{1-q^2} \\
S_p= \frac{a_1q}{1-q^2}= \frac{q^2}{1-q^2}\)

do równania mam:
\( \frac{1}{q}=\frac{q}{1-q^2}-\frac{q^2}{1-q^2} \\
\frac{1}{q}=\frac{q}{1+q} \\
q^2-q-1=0\\
q_1= \frac{1- \sqrt{5} }{2} \ \ \vee \ \ q_2= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \)

jednak tylko pierwsze rozwiązanie spełnia warunek \(|q|<1\)