Szereg Talyora/Maclaurina, błąd przybliżenia i f. tryg?

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
AndreasDidier
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 02 lut 2021, 16:32
Płeć:

Szereg Talyora/Maclaurina, błąd przybliżenia i f. tryg?

Post autor: AndreasDidier » 02 lut 2021, 16:59

Cześć, mam problem z poniższymi zadaniami:
1) Obliczyć z dokładnością do 0.1, 0.01, 0.001: (W praktyce wystarczy mi obliczenie do R2 lub R3 i dalej powinienem być w stanie to sobie rozwinąć)
a) sin 3/2
b) cos 3/2
c) arctg 1/4, arctg 1/2

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4470
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 1698 razy
Płeć:

Re: Szereg Talyora/Maclaurina, błąd przybliżenia i f. tryg?

Post autor: panb » 02 lut 2021, 22:13

AndreasDidier pisze:
02 lut 2021, 16:59
Cześć, mam problem z poniższymi zadaniami:
1) Obliczyć z dokładnością do 0.1, 0.01, 0.001: (W praktyce wystarczy mi obliczenie do R2 lub R3 i dalej powinienem być w stanie to sobie rozwinąć)
a) sin 3/2
b) cos 3/2
c) arctg 1/4, arctg 1/2
Ciekawe dlaczego masz z nimi problem.
a) \(f(x)=\sin x \So f(1.5)= \frac{1.5}{1!}- \frac{1.5^3}{3!}+ \frac{1.5^5}{5!} - \frac{1.5^7}{7!}+\frac{1.5^9}{9!}- \frac{1.5^{11}}{11!}+\ldots \\
c\in (0,1.5) \So R_n= \frac{f^{(2n+1)}(c)}{(2n+1)!}\cdot1.5^{2n+1}\le \frac{1.5^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\frac{1.5^{2n+1}}{(2n+1)!}\le 0.1 \text{ dla } 2n+1\ge 5 \iff n\ge 2 \\
\frac{1.5^{2n+1}}{(2n+1)!} \le 0.01 \text{ dla } 2n+1\ge 7 \iff n\ge 3\\
\frac{1.5^{2n+1}}{(2n+1)!} \le 0.001 \text{ dla } 2n+1 \ge 9 \iff n \ge 4 \)


Wobec tego: \(\sin \frac{3}{2}\approx 1.0 \,\,(\pm 0.1)\\
\sin \frac{3}{2}\approx 1.00 \,\,(\pm 0.01)\\
\sin \frac{3}{2}\approx 0,997 \,\,(\pm 0.001)\)