Sprawdź czy ciąg jest geometryczny

[martikad]

Proszę o sprawdzenie zadania z ciągów geometrycznych. Które rozwiązanie jest prawidłowe?

Sprawdź czy ciąg jest geometryczny.
\(a_n = 2n + 1
\)
\(a_{n + 1} = 2(n + 1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2 n + 3\)


\(q = \frac{an+1}{an} = \frac{2n + 3}{2n + 1} =
= \frac{2(n +3)}{2(n + 1)} = \frac{2n + 6}{2n + 2} = 3
\)
Ten ciąg jest geometryczny.

Lub
\(q = \frac{an+1}{an} = \frac{2n + 3}{2n + 1} = 3\)

[eresh]

ten ciąg nie jest geometryczny
\(a_1=2+1=3\\
a_2=2\cdot 2+1=5\\
a_3=2\cdot 3+1=7\\
\frac{a_3}{a_2}\neq \frac{a_2}{a_1}\)

[martikad]

Ok ale w internecie na stronie widziałam podobne zadanie o tej samej treści tylko inaczej rozwiązane. Czy to rozwiązanie jest poprawne?
\(a_n = 2n + 4\\
a_{n+1} = 2(n + 1) + 4 = 2n + 2 + 4 = 2n + 6\)

\(q = \frac{2n + 6}{2n + 4} = \frac{2(n + 3)}{2(n + 2)} = \frac{n + 3}{n + 2}\)
Ten ciąg nie jest geometryczny.

[eresh]

Ok ale w internecie na stronie widziałam podobne zadanie o tej samej treści tylko inaczej rozwiązane. Czy to rozwiązanie jest poprawne?
\(a_n = 2n + 4\\
a_{n+1} = 2(n + 1) + 4 = 2n + 2 + 4 = 2n + 6\)

\(q = \frac{2n + 6}{2n + 4} = \frac{2(n + 3)}{2(n + 2)} = \frac{n + 3}{n + 2}\)
Ten ciąg nie jest geometryczny.

tak
ciąg nie jest geometryczny, ponieważ \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) nie jest stały (jest zależny od n)

[martikad]

Czyli w zadaniu an = 2n + 1 q = \frac{n + 3}{n + 1} ?

[eresh]

Czyli w zadaniu an = 2n + 1 q = \frac{n + 3}{n + 1} ?

raczej
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+3}{2n+1}\)

[martikad]

Proszę o sprawdzenie zadania z ciągów geometrycznych - zależność.

Liczby 2, 2n + 4, 4 tworzą ciąg geometryczny. Oblicz n.
(2n + 4)^2 = 2 * 4
(2n + 4)^2 = 8
(2n + 4)^2 = 2^3
2n + 4 = 2^1 = 2
2n = 2 - 4
2n = - 2
n = - 1

[eresh]

Proszę o sprawdzenie zadania z ciągów geometrycznych - zależność.

Liczby 2, 2n + 4, 4 tworzą ciąg geometryczny. Oblicz n.
(2n + 4)^2 = 2 * 4
(2n + 4)^2 = 8
(2n + 4)^2 = 2^3
2n + 4 = 2^1 = 2
2n = 2 - 4
2n = - 2
n = - 1

źle, powinno być:
\((2n+4)^2=8\\
2n+4=2\sqrt{2}\;\; \vee \;\;(2n+4)=-2\sqrt{2}\\
2n=2\sqrt{2}-4\;\;\vee\;\;2n+4=-2\sqrt{2}-4\\
n=\sqrt{2}-2\notin\mathbb{N}\;\;\vee n=-\sqrt{2}-2\notin\mathbb{N}\)
nie istnieje takie n, aby podany ciąg był geometryczny

[martikad]

Dlaczego \sqrt{2}? Przecież 8 to 2^ 3?

[eresh]

Dlaczego \sqrt{2}? Przecież 8 to 2^ 3?

a po lewej stronie równania jest kwadrat, czy sześcian?

[martikad]

No kwadrat ale 2 \sqrt{2} ani \sqrt{2} nie równa się 8. Więc nadal nie wiem dlaczego jest 2 \sqrt{2} . Przepraszam ale matematykę miałam 15 lat temu i nic nie pamiętam umiem tylko dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić potęgi typu 2^2, 2^3. Więc proszę wytłumacz mi i rozpisz żebym wiedziała o co chodzi.

[eresh]

No kwadrat ale 2 \sqrt{2} ani \sqrt{2} nie równa się 8. Więc nadal nie wiem dlaczego jest 2 \sqrt{2} . Przepraszam ale matematykę miałam 15 lat temu i nic nie pamiętam umiem tylko dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić potęgi typu 2^2, 2^3. Więc proszę wytłumacz mi i rozpisz żebym wiedziała o co chodzi.

\((2\sqrt{2})^2=2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{4}=4\cdot 2=8\)

\(t^2=8\\
t=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\vee t=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}\)