Wyznacz okres podstawowy ci¡gu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
xxxm4rc3l
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 06 sty 2020, 19:21
Płeć:

Wyznacz okres podstawowy ci¡gu

Post autor: xxxm4rc3l » 08 sty 2020, 14:12

Wyznacz okres podstawowy ciągu an =sin (pi*n^2/6) (okresem podstawowym ciągu (an) nazywamy najmniejszą liczby k ∊ N, dla której dla każdego n ∊ N, an = an+k).

Rozumiem ze k jest tzw. T oraz n jest moim x ale jak to zbadać lub udowodnić??
Zadanie potrzebuje rozwiązać do jutra więc Licze na pomoc ;//

Galen
Guru
Guru
Posty: 18343
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9106 razy

Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu

Post autor: Galen » 08 sty 2020, 15:06

Oblicz kilka kolejnych wyrazów ciągu.
\(a_1=sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\\a_2=sin\frac{4\pi}{6}=sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\a_3=....\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

xxxm4rc3l
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 06 sty 2020, 19:21
Płeć:

Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu

Post autor: xxxm4rc3l » 08 sty 2020, 15:38

Znaczy znalazłem wyraz dla którego wartość jest równa 0, jest to wyraz 6 ponieważ 6pi przyjmuje wartość właśnie 0, tylko czy to znaczy ze okres jest Równy 6?

xxxm4rc3l
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 06 sty 2020, 19:21
Płeć:

Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu

Post autor: xxxm4rc3l » 08 sty 2020, 23:34

Sześć pierwszych wyrazów ciągu: sin(pi/6), sin(2pi/3), sin(3pi/2), sin(8pi/3), sin(25pi/6), sin(6pi)
Argument ostatniego sinusa (i tylko ostatniego) jest parzystą wielokrotnością pi, czyli wartość tego sinusa wynosi 0. Jeżeli ciąg jest okresowy, to co pewną liczbę wyrazów musi się pojawiać 0 - tutaj jest sześć wyrazów i 0 pojawia się tylko raz, więc okres wynosi przynajmniej 6 i w każdym okresie pojawia się przynajmniej jedno 0. Sinus równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego argument jest parzystą wielokrotnością pi. Czyli mój ciąg ma zera tam, gdzie n^2/6 jest liczbą parzystą. Zera tego ciągu pojawiają się co sześć wyrazów. Pozostaje pytanie: co się dzieje pomiędzy tymi zerami?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3715
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 1324 razy
Płeć:

Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu

Post autor: panb » 09 sty 2020, 00:42

Podejrzenie, że okres wynosi 6 należy uzasadnić. Argument o pojawianiu się zera nie jest dobry, bo wtedy
okresem sinusa byłoby \(\pi: \sin0=\sin\pi=\sin(2\pi)=\ldots=\sin (n\pi)=0\)
Funkcja sinus jest jednak okresowa, ale o okresie \(2\pi\) co oznacza, że \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\)

\[a_{n+6}=\sin \frac{\pi (n+6)^2}{6} = \sin \frac{\pi(n^2+12n+36)}{6}=\sin \left( \frac{\pi n^2} {6}+ \pi \cdot \frac{12n+36}{6} \right) =\\=\sin \left( \frac{\pi n^2}{6}+2(n+3)\pi \right)=\sin \left( \frac{\pi n^2}{6}+2k\pi \right)=\sin \frac{\pi n^2}{6}=a_n \]
wobec tego z definicji okresu jest on równy 6.