Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
krzysiekpl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 18 lis 2019, 22:28
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: krzysiekpl » 21 lis 2019, 21:05

Dzień dobry,

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania. Wyznaczyć granicę prawdopodobnie potrafię- jeśli chodzi tu o wyciągnięcie przed nawias najwyższej potęgi. Nie będę jednak ukrywał- moje zdolności matematyczne są bardzo znikome. W temacie badania monotoniczności wiem tyle, że powinienem od an+1 odjąć an. Po doprowadzeniu do wspólnego mianownika jednak zaczynają się schody.
Serdecznie pozdrawiam i z góry dziękuję. ;)

Obrazek

radagast
Guru
Guru
Posty: 16770
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 7080 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: radagast » 21 lis 2019, 22:44

Nie jest monotoniczny: \(a_1>a_2<a_3\)

krzysiekpl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 18 lis 2019, 22:28
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: krzysiekpl » 22 lis 2019, 22:15

radagast pisze:
21 lis 2019, 22:44
Nie jest monotoniczny: \(a_1>a_2<a_3\)
Dzięki za odpowiedź! Czy to jest wystarczający dowód? Czy jednak musiałbym to udowodnić odejmując an+1 od an?

krzysiekpl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 18 lis 2019, 22:28
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: krzysiekpl » 22 lis 2019, 22:18

krzysiekpl pisze:
22 lis 2019, 22:15
radagast pisze:
21 lis 2019, 22:44
Nie jest monotoniczny: \(a_1>a_2<a_3\)
Dzięki za odpowiedź! Czy to jest wystarczający dowód? Czy jednak musiałbym to udowodnić odejmując an+1 od an?
Miałem na myśli odejmowanie an od an+1.. ;)

krzysiekpl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 18 lis 2019, 22:28
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: krzysiekpl » 22 lis 2019, 22:55

Przepraszam za spam, natomiast nie widzę tutaj opcji edycji postów.

Poniżej przesyłam moment do którego dochodzę i którego niestety nie potrafię przebrnąć.

Obrazek

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3234
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1103 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: panb » 23 lis 2019, 01:35

A wykazać, że coś (tu: monotoniczność) nie zachodzi wystarczy wskazać jeden przykład, dla którego stwierdzenie nie jest prawdziwe.

Ten ciąg jest "przewrotny", bo dla n=1 i n=2 wyrazy są ujemne, a od wyrazu trzeciego dodatnie i począwszy od trzeciego wyrazu ciąg już jest malejący. To wychodzi z odejmowania \(a_{n+1}-a_n\) (tylko nie wymnażaj w mianowniku).

Tym niemniej, odpowiedź brzmi: ciąg nie jest monotoniczny (że granica jest równa zero, to wiesz, prawda?)

krzysiekpl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 18 lis 2019, 22:28
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: krzysiekpl » 25 lis 2019, 01:48

panb pisze:
23 lis 2019, 01:35
A wykazać, że coś (tu: monotoniczność) nie zachodzi wystarczy wskazać jeden przykład, dla którego stwierdzenie nie jest prawdziwe.

Ten ciąg jest "przewrotny", bo dla n=1 i n=2 wyrazy są ujemne, a od wyrazu trzeciego dodatnie i począwszy od trzeciego wyrazu ciąg już jest malejący. To wychodzi z odejmowania \(a_{n+1}-a_n\) (tylko nie wymnażaj w mianowniku).

Tym niemniej, odpowiedź brzmi: ciąg nie jest monotoniczny (że granica jest równa zero, to wiesz, prawda?)
Bardzo dziękuję za odpowiedź. Owszem, granica równa się zero. Zastanawia mnie jeszcze jedna sprawa. Wspomniał Pan, że przewrotność ciągu wychodzi z odejmowania. W przypadku, w którym nie wymnożyłbym mianownika wynik odejmowania wyglądałby następująco:

Obrazek

Czy jest to już etap końcowy, który potwierdza tezę iż ciąg jest niemonotoniczny? Czy może idzie jeszcze coś z tym ułamkiem 'zrobić'?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3234
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1103 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: panb » 25 lis 2019, 15:22

Wyciągnąć minus przed ułamek i licznik sprowadzić do postaci kanonicznej \((2n+1,5)^2+18,75\), żeby było widać, że to jest zawsze ujemne. Pierwszy nawias zostawić w postaci \([(n+1)^2-5]\). Wtedy widać, że mianownik jest dodatni dla \(n \ge 3\)

krzysiekpl
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 18 lis 2019, 22:28
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Badanie monotoniczności i wyznaczanie granicy ciągu w wyrazie ogólnym

Post autor: krzysiekpl » 28 lis 2019, 16:20

panb pisze:
25 lis 2019, 15:22
Wyciągnąć minus przed ułamek i licznik sprowadzić do postaci kanonicznej \((2n+1,5)^2+18,75\), żeby było widać, że to jest zawsze ujemne. Pierwszy nawias zostawić w postaci \([(n+1)^2-5]\). Wtedy widać, że mianownik jest dodatni dla \(n \ge 3\)
Serdecznie dziękuję za wszelką pomoc. Życzę miłego dnia. :)