Dowód wektory.

[gr4vity]

Niech \(N\) będzie liczbą całkowitą większą od jedności, wówczas:

\(\sum_{n=0}^{n=N-1} \cos \frac{2 \pi n}{N}=0 \)
podobnie
\(\sum_{n=0}^{n=N-1} \sin \frac{2 \pi n}{N}=0 \)

Udowodnij te dwa twierdzenia, znajdując sumę \(N\) wektorów o jednostkowej długości, tak rozmieszczonych, że każdy wektor tworzy z wektorem poprzedzającym go kąt \( \frac{2 \pi }{N} \)

Poprosiłbym z wyjaśnieniem :/

[kerajs]

Równanie: \(z^N=1\) ma N pierwiastków o postaci \(z_n=\cos \frac{2 \pi n}{N}+i \sin \frac{2 \pi n}{N} \)
Ich sumę można tak wyrazić:
\(\sum_{n=0}^{n=N-1}z_n=\sum_{n=0}^{n=N-1} \cos \frac{2 \pi n}{N}+i \sum_{n=0}^{n=N-1} \sin \frac{2 \pi n}{N} \)
a wzory Viety wskazują że jest to minus współczynnik przy \(z^{N-1}\) w równaniu \(z^N=1\). Stąd
\(0=\sum_{n=0}^{n=N-1} \cos \frac{2 \pi n}{N}+i \sum_{n=0}^{n=N-1} \sin \frac{2 \pi n}{N} \)
\(0+i0=\sum_{n=0}^{n=N-1} \cos \frac{2 \pi n}{N}+i \sum_{n=0}^{n=N-1} \sin \frac{2 \pi n}{N} \)
Porównaj części rzeczywiste i urojone z obu stron równości, a dostaniesz tezę.

[gr4vity]

Skąd bierze się pierwsza linijka? Mógłbym prosić o trochę obszerniejsze wyjaśnienie ?

[Jerry]

O pierwiastkach, m.in. z jedynki

Pozdrawiam

[gr4vity]

A można udowodnić to jakoś po fizycznemu bardziej?
Na ćwiczeniach rozpoczęliśmy to zadanie o obliczenia składowych wektorów...
Mówiąc, że nie rozumiem pierwszego wiersza nie miałem na myśli postaci trygonometrycznej liczby zespolonej tylko samego tego wyrażenia: \(z^{N}=1\) itd.

[gr4vity]

Okej albo zapytam inaczej.

Równanie: \(z^N=1\)

Skąd to równanie? Czym jest \(z\), dlaczego jest to równe \(1\) ?

a wzory Viety wskazują że jest to minus współczynnik przy \(z^{N-1}\) w równaniu \(z^N=1\).

Które wzory Viete'a?

[Jerry]

Równanie: \(z^N=1\)

Skąd to równanie? Czym jest \(z\), dlaczego jest to równe \(1\) ?

kerajs zauważył, że zespolone pierwiastki \(N\)-tego stopnia z jedynki mają bezpośredni związek z formami trygonometrycznymi z zadania i wymyślił/rozpatrzył wielomian
\[w(z)=1\cdot z^N+0\cdot z^{N-1}+0\cdot z^{N-2}+\ldots+0\cdot z-1\]
zmiennej zespolonej, który ma \(N\) pierwiastków: \(z_1,\ z_2,\ldots z_i,\ \ldots,\ z_N\) równych odpowiednio kolejnym pierwiastkom z jedynki.

a wzory Viety wskazują że jest to minus współczynnik przy \(z^{N-1}\) w równaniu \(z^N=1\).

Które wzory Viete'a?

Dla wielomianu \(w(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0\) mamy
\[z_1+z_2+\ldots+z_n=-{a_{n-1}\over a_n}\].
W zadaniu mamy \(-{a_{n-1}\over a_n}=-{0\over1}=0=0+i\cdot0\). Pozostaje zsumować pierwiastki wielomianu i przyrównać części rzeczywiste i urojone...

Pozdrawiam

[edited] Uwaga! Zauważyłem teraz kłopotliwość zapisu w indeksowaniu: pierwiastek \(z_i\) wielomianu jest \(z_{i-1}\) pierwiastkiem z jedynki!

[Icanseepeace]

Niech \( O = (0,0) \). Na kole jednostkowym tworzę ciąg punktów \( A_k\) wzorem:
\[ A_k = ( \cos( \frac{2\pi k}{N} ) , \sin( \frac{2\pi k}{N})) \]
dla \( 0 <k < N - 1 \). Widać, że taki dobór punktów tworzy na tym kole wielokąt foremny. Ponadto definiuję wektor \( v \) wzorem:
\[ v = OA_0 + OA_1 + \ldots + OA_{N-1} \]
Zauważmy, że obrót takiego wielokąta o \( \frac{2 \pi}{N} \) tworzy identyczny wielokąt zatem \( v = 0 \)
Z drugiej strony łatwo widać, że:
\[ v = ( \sum\limits_{k = 0}^{N-1} \cos (\frac{2\pi k}{N}) , \sum\limits_{k = 0}^{N-1} \sin (\frac{2\pi k}{N})) \]
dlatego
\[ \sum\limits_{k = 0}^{N-1} \cos (\frac{2\pi k}{N}) = 0 \wedge \sum\limits_{k = 0}^{N-1} \sin (\frac{2\pi k}{N}) = 0 \]