Magnetyzm, ruch pręta ze zmiennym przyspieszeniem

[szymonzbir]

Witam,
przyszło mi zmierzyć się z takim oto zadaniem. Bez problemu udało mi się wyznaczyć maksymalną wartość prędkości (z równowagi stałej siły, oraz siły elektrodynamicznej). Problem pojawił się z wyznaczeniem czasu po którym to nastąpi, oraz z rozwiązaniem podpunktu b) treści zadania. Mam problem z rozwiązaniem i zastosowaniem równania różniczkowego (zakładam że trzeba to rozwiązać w ten sposób). Będę wdzięczny za pomoc .

[korki_fizyka]

a) Musisz rozdzielić zmienne w r-niu na siłę wypadkową

\(F_w = ma = m\frac{dv}{dt} \rightarrow dt = \frac{m}{F_w} dv\)

a następnie scałkować

\(\int_{0}^{t} dt = m \int_{0}^{v_{gr}} \frac{dv}{F_w}\)

b) tutaj odwrotnie, z II zasady dynam. musisz wyznaczyć v(t) =...

[szymonzbir]

Mam jeszcze jedno pytanie (przepraszam, bo zapewne kwalifikuje się ono jako bardziej matematyczne).
Wiadomo że siła wypadkowa w tym równaniu będzie dana wzorem: \[F_{w}=F-F_{el}\]
Zatem
\[F_{w}=F-IlB\]
Dla uproszczenia zapisu rozstaw szyn oznaczyłem jako l.
Czyli w podanej całce muszę podstawić: \[ \int_{0}^{t} dt= m\int_{0}^{v_{gr}}\frac{dv}{F-IlB} \]
Teraz zająłem się wyznaczaniem natężenia prądu. Miałem pomysł aby zrobić to z prawa ohma: \[I=\frac{\varepsilon }{R}\]
Indukowaną SEM chciałem wyznaczyć z prawa Faradaya:\[\varepsilon =\frac{d\phi}{dt}\]
Jednak teraz mam problem z wyznaczeniem SEM. Nie wiem jak ją policzyć, wiem że w strumieniu zmienia się pole powierzchni, jednak jak zapisać to matematycznie (jak się zmienia).

[korki_fizyka]

Czyli w podanej całce muszę podstawić: \[ \int_{0}^{t} dt= m\int_{0}^{v_{gr}}\frac{dv}{F-IlB} \]

zgadza się

Jednak teraz mam problem z wyznaczeniem SEM. Nie wiem jak ją policzyć, wiem że w strumieniu zmienia się pole powierzchni, jednak jak zapisać to matematycznie (jak się zmienia).

Tutaj znajdziesz podpowiedź.
\[\varepsilon =-\frac{d\phi}{dt}=-\frac{B\cdot dS}{dt}=-Bl\frac{dx}{dt} = -Blv\]
\[I=\frac{|\varepsilon| }{R}\]

[szymonzbir]

Udało mi się dojść do czegoś takiego: \[t=m \int_{0}^{v_{gr}}\frac{1}{F-\frac{B^2l^2 v}{R}} dv\]
Wszystko wygląda raczej ok. Czy mógłbym prosić o ostatnią wskazówkę jak rozwiązać tą całkę. Próbowałem sprowadzić do wspólnego mianownika, i potem coś kombinować ale nie mogę sobie z tym zbytnio poradzić. Zdaje sobie sprawę, że to zagadnienie czysto matematyczne, ale prosiłbym o jakąś wskazówkę
Bez problemu udało mi się znaleźć rozwiązanie czy to w wolframie, czy kalkulatorze, jednak chciałbym podszkolić się w liczeniu takich całek samemu.

[szymonzbir]

Udało mi się dojść do czegoś takiego: \[t=m \int_{0}^{v_{gr}}\frac{1}{F-\frac{B^2l^2 v}{R}} dv\]
Wszystko wygląda raczej ok. Czy mógłbym prosić o ostatnią wskazówkę jak rozwiązać tą całkę. Próbowałem sprowadzić do wspólnego mianownika, i potem coś kombinować ale nie mogę sobie z tym zbytnio poradzić. Zdaje sobie sprawę, że to zagadnienie czysto matematyczne, ale prosiłbym o jakąś wskazówkę
Bez problemu udało mi się znaleźć rozwiązanie czy to w wolframie, czy kalkulatorze, jednak chciałbym podszkolić się w liczeniu takich całek samemu.

Udało mi się rozwiązać, temat uważam za zamknięty. Dziękuję bardzo za pomoc

[szymonzbir]

Niestety pojawiło się ostatnie pytanie, tym razem już do podpunktu b)
Doszedłem do takiego równania: \[dv=\frac{Fdt-B^2l^2vdt}{m}\]
Jednak \(v\) występuje również po prawej stronie równania.
Wpadłem na pomysł, żeby zamiast \(v\) podstawić \(\frac{dx}{dt}\). Jednak scałkowanie tego doprowadzi mnie do zależności: \[v=\frac{Ft-B^2l^2x}{m}\]
Tutaj niestety wynik mam uzależniony od \(x\), o którym nic nie wiem.

[korki_fizyka]

Udało mi się dojść do czegoś takiego: \[t=m \int_{0}^{v_{gr}}\frac{1}{F-\frac{B^2l^2 v}{R}} dv\]
Wszystko wygląda raczej ok. Czy mógłbym prosić o ostatnią wskazówkę jak rozwiązać tą całkę. Próbowałem sprowadzić do wspólnego mianownika, i potem coś kombinować ale nie mogę sobie z tym zbytnio poradzić. Zdaje sobie sprawę, że to zagadnienie czysto matematyczne, ale prosiłbym o jakąś wskazówkę
Bez problemu udało mi się znaleźć rozwiązanie czy to w wolframie, czy kalkulatorze, jednak chciałbym podszkolić się w liczeniu takich całek samemu.

\[t=m \int_{0}^{v_{gr}}\frac{1}{F-\frac{B^2l^2 v}{R}} dv = mR\int_{0}^{v_{gr}}\frac{dv}{FR -B^2l^2v}\]
To jest dość prosta całka typu \(\int\frac{dx}{a -bx}\)

znajdziesz ją w tablicach całek w każdym podręczniku z rachunku różniczkowego
choćby tutaj.

[korki_fizyka]

PS gdy się czegoś nie wie/nie umie, to najlepiej zajrzeć do dobrego podręcznika albo nawet kilku
tu masz podobny przykład tylko z siła oporu powietrza
https://cnx.org/contents/TqqPA4io@5.93: ... -graniczna