Prędkość średnia

[user656]

Czy w podanych rachunkach znajduje się błąd? Licząc \(v_{śr}\) wychodzą ujemne wartości. A może należy użyć wartości bezwzględnej?

\( \Delta t \quad\quad\quad\quad \Delta s \)
\( 1 \quad\quad\quad\quad -0,125 \)
\( 0,1 \quad\quad \quad -0,02375 \)
\( 0,01 \quad\quad -0,24875 \)
\( 0,001 \quad -0,249875\)

Prędkość średnia w poszczególnych przedziałach \( \Delta t / \Delta s:\)
\(-0,125\)
\(-0,2375\)
\(-0,24875\)
\(-0,249875\)

\(v_{śr}=0,25m/s\)

[grdv10]

O ile pierwsze dwa obliczenia są poprawne, to w trzeci mi czwartym zapomniałeś o podzieleniu. Samą prędkość średnią liczymy tak, że w łącznym czasie trzeba przebyć identyczną drogę z tą samą prędkością, jak w poszczególnych odcinkach z różnymi prędkościami. Podstawowy wzór to\[v=\frac{s}{t},\]czyli\[t=\frac{s}{v}.\]Zatem mamy równanie dla prędkości średniej:\[\frac{s}{v}=\frac{s_1}{v_1}+\dots+\frac{s_n}{v_n}.\]Teraz wystarczy policzyć\[v=\frac{s}{\frac{s_1}{v_1}+\dots+\frac{s_n}{v_n}}.\]Biorąc pod uwagę\[s=s_1+\dots+s_n\]dostaniemy\[v=\frac{s_1+\dots+s_n}{\frac{s_1}{v_1}+\dots+\frac{s_n}{v_n}}.\]Jest to tzw. średnia harmoniczna ważona prędkości.

Obliczenia wykonam w moim ulubionym programie R.

[user656]

O ile pierwsze dwa obliczenia są poprawne, to w trzeci mi czwartym zapomniałeś o podzieleniu. Samą prędkość średnią liczymy tak, że w łącznym czasie trzeba przebyć identyczną drogę z tą samą prędkością, jak w poszczególnych odcinkach z różnymi prędkościami.

Prędkość średnia może przybierać wartości ujemne?

[grdv10]

A skąd masz te dane? Ale chyba wiem, skąd masz minusy. Przyrost drogi to droga końcowa minus droga początkowa, a Ty z pewnością policzyłeś w przeciwnym kierunku.

W naszej sytuacji nie trzeba tego wzoru ze średnią harmoniczną. Wystarczy policzyć\[v=\frac{s_1+\dots+s_n}{t_1+\dots+t_n}.\]Sprawdź, że oba wzory się zgadzają.

Tak więc

Kod: Zaznacz cały

> s<-c(0.125,0.02375,0.24875,0.249875)
> t<-c(1,0.1,0.01,0.001)
> sum(s)/sum(t)
[1] 0.5826958

[user656]

Przyrost drogi to droga końcowa minus droga początkowa, a Ty z pewnością policzyłeś w przeciwnym kierunku.

Dokładnie tak

[grdv10]

Dopisałem Ci jeszcze obliczenia w R. Zrobisz je oczywiście na każdym kalkulatorze. Ja uwielbiam R. To program głównie do statystyki, ale można go stosować do każdych obliczeń. Znacznie przewyższa zalety arkusza kalkulacyjnego.

[korki_fizyka]

O ile pierwsze dwa obliczenia są poprawne, to w trzeci mi czwartym zapomniałeś o podzieleniu. Samą prędkość średnią liczymy tak, że w łącznym czasie trzeba przebyć identyczną drogę z tą samą prędkością, jak w poszczególnych odcinkach z różnymi prędkościami.

Prędkość średnia może przybierać wartości ujemne?

Nie , o ile dane dotyczące odcinków drogi nie są opisane jako przemieszczenia w jakimś układzie współrzędnych np. na osi OX. Wtedy mamy do czynienia z wektorem prędkości, a nie tylko jego wartością czyli szybkością. Dlatego Twoje dane, które oznaczyłeś jako \(\Delta S \) powinny być dodatnie. To są po prostu długości poszczególnych odcinków, a więc liczysz potem szybkości średnie a nie prędkości

Zatem prędkość średnia \(\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \rightarrow v_x =\frac{\Delta x}{\Delta t} , v_y =\frac{\Delta y}{\Delta t}, v_z=\frac{\Delta z}{\Delta t}\),
natomiast szybkość średnia to \(v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\).

BTW z kolei na podstawie danych z lewej kolumny \(\Delta t \rightarrow 0\) wynika, że zmierzasz bardziej w kierunku obliczenia szybkości chwilowej niż średniej

oto jej wartość w chwili początkowej:

[..]
\(v_{śr}=0,25m/s\)

a raczej (bo zapomniałeś o dzieleniu) powinno być \(v_{ch} \approx 250 \ \frac{m}{s}\).