Moment bezwładności- analiza matematyczna

[andzia210198]

Obliczyć moment bezwładności:
a) paraboloidy \(z= x^2 + y^2\) , gdzie \(z \le 4\) , o gęstości \(\Delta (x,y,z)= \frac{1}{ \sqrt{1+4x^2+4y^2} }\) względem osi \(Oz\)

[panb]

Obliczyć moment bezwładności:
a) paraboloidy \(z= x^2 + y^2\) , gdzie \(z \le 4\) , o gęstości \(\Delta (x,y,z)= \frac{1}{ \sqrt{1+4x^2+4y^2} }\) względem osi \(Oz\)

Z definicji \[I_z=\iiint_V \Delta (x,y,z)(x^2+y^2)dV\]
W tym przypadku \(\displaystyle V= \left\{(x,y,z): 0\le z \le 4,\,\, -\sqrt z \le x \le \sqrt z,\,\,\, -\sqrt{z-x^2} \le y \le \sqrt{z-x^2} \right\} \) to wygląda paskudnie, a jeszcze trudniej liczyłoby się całkę.
Po wprowadzeniu współrzędnych walcowych \( \begin{cases} x=r\cos t\\y=r\sin t\\ z=z\\|J|=r\end{cases} \), mamy
\(V= \left\{ (r,t,z): 0\le z \le 4,\,\,\, 0\le r \le 2, \,\,\, 0 \le t \le 2\pi \right\}, \text{ oraz } \Delta(r,t,z)= \frac{1}{\sqrt{1+4r^2}} \)
\[I_z=\iiint_V \Delta (x,y,z)(x^2+y^2)dV= \int_{0}^{2\pi}\, {dt} \int_{0}^{4}\, {dz} \int_{0}^{2} \frac{r^2}{\sqrt{1+4r^2}} r\,{dr} = \frac{(7\sqrt{17}+1)\pi }{3} \]

[andzia210198]

Czy jest możliwość policzenia momentu z całki podwójnej, mianowicie z tego wzoru \(I_z = \int \int_{\sigma}^{} (x^2 +y^2) \Delta (x,y,z)dS \) gdzie jest to wzór na moment względem osi oraz względem początku układu współrzędnych płata materialnego \(\sigma\) o gęstości powierzchniowej masy \(\Delta\)

[panb]

To jest to samo. Całka po z po prostu "sumuje" momenty tych płatów.

[Jerry]

andzia210198:
Przykro nam, że nie jesteś usatysfakcjonowana...
Nie mając wpływu na treści postów - Twoje zgłoszenie zamknąłem!

Miłego dnia