Fizyka

[Babuszka11]

Obliczyć średnią gęstość \(ρ\) ładunku w atmosferze, jeżeli wiadomo, że natężenie pola elektrycznego na powierzchni Ziemi wynosi \(100 \frac{V}{m}\), a na wysokości \(h= 1,5km\) natężenie to spada do wartości \(25 \frac{V}{m}\).

[korki_fizyka]

Ładunek na powierzchni Ziemi jest ujemny, a zgromadzony w atmosferze dodatni, co sprawia, że natężenie pola maleje wraz z wysokością. Stosując prawo Gaussa mamy:
\(\oint_{S}\vec{E} \cdot \vec{dS}=4\pi r^2 E(r)=\frac{4}{3}\pi(r^3 - R^3)\frac{\rho}{\epsilon_o}\)
czyli \(E(r) = \frac{\rho(r^3-R^3)}{3r^2\epsilon_o}=\frac{\rho r}{3\epsilon_o}(1 - \frac{R^3}{r^3})\)

Interesuje nas tylko ładunek w atmosferze ( r > R)
więc \(r = R+h\) i wyrażenie w nawiasie można zapisać w postaci: \(1 - \frac{R^3}{r^3} = 1 - \frac{R^3}{(R+h)^3}= 1 - \frac{1}{(1+\frac{h}{R})^3}=..\) które następnie rozwijamy w szereg pomijając wyrazy z potęgami wyższymi niż 1, (\(\frac{h}{R} << 1\))
\(..=1 - 1 + \frac{1\cdot 3}{1! R} h +...\approx \frac{3h}{R}\)

Zatem natężenie pola pochodzącego od ładunków w atmosferze

\( E(h) \approx \frac{\rho (R+h)}{3\epsilon_o}\frac{3h}{R} = \frac{\rho}{\epsilon_o}(1+\frac{h}{R})h \approx \frac{\rho}{\epsilon_o}h\) czyli w przybliżeniu zmienia się liniowo wraz z wysokością. Teraz wykorzystując warunki brzegowe wystarczy rozwiązać układ r-ń: \( \begin{cases} E(0) = 100 \frac{V}{m}\\ E(15\ km) = 25\ \frac{V}{m}\end{cases}\)

Można też rozwiązać problem bardziej dokładnie stosując prawo Gaussa oddzielnie do obydwu warunków brzegowych, odejmując stronami otrzymane równania dostaniemy wynik postaci:

\[E(R)R^2 - E(h)(R+h)^2= \frac{\rho}{3\epsilon_o}((R+h)^3 - R^3)\]

stąd ostatecznie średnia gęstość ładunku

\(\rho =\frac{3\cdot 8,85\cdot 10^{-12} ( 100\cdot (6,36\cdot 10^6)^2 -25\cdot (6,375\cdot 10^6)^2 ) }{((6,375\cdot 10^6)^3-(6,36\cdot 10^6)^3 )}\approx 44,1\cdot 10^{-15}\frac{C}{m^3}\).