Ładunki o przeciwnych znakach są rozłożone ze stałymi gęstościami powierzchniowymi \(+σ \) i \(−σ\) odpowiednio na dwóch metalowych nieskończonych płaszczyznach, równoległych względem siebie i odległych o \(d\). Znajdź i wykreśl rozkład \(E\) i \(V\) wzdłuż normalnej do płaszczyzn:
a) przed
b) po połączeniu jednej z płyt z Ziemią
Potenciał
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1546
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Potenciał
a)
\( E = \begin{cases} \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}, \ \ \text{gdy} \ \ 0 \leq x \leq d \\ 0 \ \ \text{gdy}, \ \ x<0 \ \ \text{lub} \ \ x>d \end{cases} \ \ (1) \)
Potencjał układu naładowanych płaszczyzn \( V \) wzdłuż normalnej do płaszczyzn, obliczamy z równania
\( E = - grad(V) = - \frac{dV}{dx} \ \ (2) \)
Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie równanie \( (2) \)
\( \int_{V_{+}}^{V} dV = - \int_{0}^{x} E \cdot dx = -\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\int_{0}^{x} \)
\( V - V_{+} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\cdot x \)
\( V = V_{+} - \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \cdot x \ \ (3)\)
b)
Połączenie jednej z płyt układu z Ziemią spowoduje, że jej potencjał będzie równy zeru. Potencjał \( V \)drugiej płyty będzie równy sumie potencjałów \( V_{+} + V_{-}.\)
Proszę wykonać wykresy funkcji \( (1), \ \ (3). \)
\( E = \begin{cases} \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}, \ \ \text{gdy} \ \ 0 \leq x \leq d \\ 0 \ \ \text{gdy}, \ \ x<0 \ \ \text{lub} \ \ x>d \end{cases} \ \ (1) \)
Potencjał układu naładowanych płaszczyzn \( V \) wzdłuż normalnej do płaszczyzn, obliczamy z równania
\( E = - grad(V) = - \frac{dV}{dx} \ \ (2) \)
Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie równanie \( (2) \)
\( \int_{V_{+}}^{V} dV = - \int_{0}^{x} E \cdot dx = -\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\int_{0}^{x} \)
\( V - V_{+} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\cdot x \)
\( V = V_{+} - \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}} \cdot x \ \ (3)\)
b)
Połączenie jednej z płyt układu z Ziemią spowoduje, że jej potencjał będzie równy zeru. Potencjał \( V \)drugiej płyty będzie równy sumie potencjałów \( V_{+} + V_{-}.\)
Proszę wykonać wykresy funkcji \( (1), \ \ (3). \)