Wyznacznie wzoru na moment bezwładności bryły

[muziollo]

Cześć,

mam problem jak w temacie z wyznaczeniem wzoru na moment bezwładności bryły. Aktualnie mam 3 wzory, z których można go wyprowadzić, jednak nie wiem jak się za to zabrać.
\(T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\kappa}}\)
\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa}}\)
\(T_x=2\pi\sqrt{\frac{I_0+I_x}{\kappa}}\)

Wzór, który chcę osiągnąć wygląda tak:
\(I_x=\frac{T_x^2-T_0^2}{T_1^2-T_0^2}\ast I_0\)

[muziollo]

Cześć,

mam problem jak w temacie z wyznaczeniem wzoru na moment bezwładności bryły. Aktualnie mam 3 wzory, z których można go wyprowadzić, jednak nie wiem jak się za to zabrać.
\(T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\kappa}}\)
\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa}}\)
\(T_x=2\pi\sqrt{\frac{I_0+I_x}{\kappa}}\)

gdzie:
\(T_0 - okres drgań ramki wahadła torsyjnego\)
\(T_1 - okres drgań ramki wahadła torsyjnego z zamontowanym walcem\)
\(T_x - okres drgań ramki wahadła torsyjnego z zamontowaną bryłą\)

Wzór, który chcę osiągnąć wygląda tak:
\(I_x=\frac{T_x^2-T_0^2}{T_1^2-T_0^2}\ast I_0\)

[muziollo]

Cześć,

mam problem jak w temacie z wyznaczeniem wzoru na moment bezwładności bryły. Aktualnie mam 3 wzory, z których można go wyprowadzić, jednak nie wiem jak się za to zabrać.
\(T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\kappa}}\)
\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa}}\)
\(T_x=2\pi\sqrt{\frac{I_0+I_x}{\kappa}}\)

gdzie:
\(T_0\) - okres drgań ramki wahadła torsyjnego
\(T_1\) - okres drgań ramki wahadła torsyjnego z zamontowanym walcem
\(T_x\) - okres drgań ramki wahadła torsyjnego z zamontowaną bryłą

Wzór, który chcę osiągnąć wygląda tak:
\(I_x=\frac{T_x^2-T_0^2}{T_1^2-T_0^2}\ast I_0\)

[panb]

Bo to się nie da zrobić przekształcając tylko wzory z powodu \(\frac{1}{2}mR^2\), chyba, że \(I_0=\frac{1}{2}mR^2\)

[muziollo]

Bo to się nie da zrobić przekształcając tylko wzory z powodu \(\frac{1}{2}mR^2\), chyba, że \(I_0=\frac{1}{2}mR^2\)

W przypadku tego ćwiczenia wykładowca podał \(I_1 = I_w + I_0 =\frac{1}{2}mR^2 + I_0\) oraz \(I_2 = I_0 + I_x\)

[muziollo]

Bo to się nie da zrobić przekształcając tylko wzory z powodu \(\frac{1}{2}mR^2\), chyba, że \(I_0=\frac{1}{2}mR^2\)

W przypadku tego ćwiczenia wykładowca podał \(I_1 = I_w + I_0 =\frac{1}{2}mR^2 + I_0\) oraz \(I_2 = I_0 + I_x\)

Również wspomniał, że na podstawie równań \(T_0\) oraz \(T_1\) należy wyeliminować stałą \(\kappa\) i \(I_0\)

[muziollo]

Bo to się nie da zrobić przekształcając tylko wzory z powodu \(\frac{1}{2}mR^2\), chyba, że \(I_0=\frac{1}{2}mR^2\)

Ale faktycznie w instrukcji do ćwiczenia jest podane, że \(I_0 \) to moment bezwładnośći walca, tak jak napisałeś

[panb]

Czyli teraz już dasz radę?

[muziollo]

Czyli teraz już dasz radę?

Szczerze mówiąc, to próbowałem to przekształcić, ale nadal gdzieś się gubię. Trochę też nie rozumiem dlaczego tutaj \(I_1=I_w+I_0\), to \(I_0\) ma być równe \( \frac{1}{2}mR^2 \) skoro jest to pusta ramka, możliwe, że gubię się w oznaczeniach Także prosiłbym jednak o pomoc.

[panb]

Cześć,

mam problem jak w temacie z wyznaczeniem wzoru na moment bezwładności bryły. Aktualnie mam 3 wzory, z których można go wyprowadzić, jednak nie wiem jak się za to zabrać.
\(T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\kappa}}\)
\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa}}\)
\(T_x=2\pi\sqrt{\frac{I_0+I_x}{\kappa}}\)

Wzór, który chcę osiągnąć wygląda tak:
\(I_x=\frac{T_x^2-T_0^2}{T_1^2-T_0^2}\cdot I_0\)

Od razu uprzedzam, że ja po prostu przekształcam wzory. Aspekt fizyczny omijam, ok?

Aha, ponieważ jesteś tu pierwszy raz, to poinformuję, że jak będziesz zadowolony z pomocy, to kliknij taki kciuk w górę - mała rzecz, a cieszy.

Z pierwszego: \(T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_0}{\kappa}} \So \frac{I_0}{\kappa}= \frac{T_0^2}{4\pi^2} \)
Z trzeciego:\( \frac{T_x^2}{4\pi^2}= \frac{I_0}{\kappa}+ \frac{I_x}{\kappa}\stackrel{\text{z pierwszego}}{=} \frac{T_0^2}{4\pi^2}+ \frac{I_x}{\kappa}\). Zatem
\(\frac{I_x}{\kappa}= \frac{T_x^2-T_0^2}{4\pi^2}\So I_x=\frac{T_x^2-T_0^2}{4\pi^2}\cdot \kappa \)

[panb]

Teraz z drugiego wyznaczasz \(\frac{4\pi^2}{\kappa} \) i jeśli to wyrażenie z \(R^2 \) da się wyrazić jako \(I_0 \), to podstawiasz i jest to co trzeba.
Poradzisz sobie - w LaTeX'u to dużo pisania, a nie jest to trudne.

[muziollo]

Teraz z drugiego wyznaczasz \(\frac{4\pi^2}{\kappa} \) i jeśli to wyrażenie z \(R^2 \) da się wyrazić jako \(I_0 \), to podstawiasz i jest to co trzeba.
Poradzisz sobie - w LaTeX'u to dużo pisania, a nie jest to trudne.

No dobrze, wyznaczłem z drugiego równiania \(\frac{4\pi^2}{\kappa} \), podstawiłem to w ten sposób: \(I_x= \frac{T_x^2-T_0^2}{T_1^2}* \frac{1}{2}mR^2+I_0 \) i w sumie zgodnie z instrukcją ćwiczenia to wychodziłoby, że mogę to zapisać tak \(I_x= \frac{T_x^2-T_0^2}{T_1^2}* I_1 \), ale nie mam pojęcia jak wcisnąć tam jeszcze brakujące \(-T_0^2\) w mianowniku :/

[panb]

Zapomniałem wspomnieć, żeby zastąpić \( \frac{I_0}{\kappa} \) przez \( \frac{T_0^2}{4\pi^2}\)

\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa}}\\
\frac{T_1^2}{4\pi^2}= \frac{ \frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa} \So \frac{T_1^2}{4\pi^2}= \frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} + \frac{I_0}{\kappa}= \frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} + \frac{T_0^2}{4\pi^2} \So \frac{T_1^2-T_0^2}{4\pi^2}=\frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} \So \frac{4\pi^2}{\kappa}=\frac{T_1^2-T_0^2}{\frac{1}{2}mR^2} \) wstawiając \( \frac{1}{2}mR^2=I_0 \), mamy
\[\frac{4\pi^2}{\kappa}=\frac{T_1^2-T_0^2}{I_0}\]

OK?

[muziollo]

Zapomniałem wspomnieć, żeby zastąpić \( \frac{I_0}{\kappa} \) przez \( \frac{T_0^2}{4\pi^2}\)

\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa}}\\
\frac{T_1^2}{4\pi^2}= \frac{ \frac{1}{2}mR^2+I_0}{\kappa} \So \frac{T_1^2}{4\pi^2}= \frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} + \frac{I_0}{\kappa}= \frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} + \frac{T_0^2}{4\pi^2} \So \frac{T_1^2-T_0^2}{4\pi^2}=\frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} \So \frac{4\pi^2}{\kappa}=\frac{T_1^2-T_0^2}{\frac{1}{2}mR^2} \) wstawiając \( \frac{1}{2}mR^2=I_0 \), mamy
\[\frac{4\pi^2}{\kappa}=\frac{T_1^2-T_0^2}{I_0}\]

OK?

Ahh, sam doszedłem do tego momentu \( \frac{T_1^2}{4\pi^2}= \frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} + \frac{I_0}{\kappa}= \frac{\frac{1}{2}mR^2}{\kappa} + \frac{T_0^2}{4\pi^2}\), ale później miałem zaćmienie co zrobić dalej.


Dziękuję bardzo, wszystko jest jasne Wesołych świąt!

[panb]

To fajnie. Też wesołych.