Omówić interpretację wzoru \(E=−grad V\). Podać przykłady innych par wielkości fizycznych opisywanych analogiczną formułą matematyczną.
\(E=−\triangledown V\)
Gradient
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1428
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 387 razy
Re: Gradient
Korekta
Gradient odnosi się zarówno do funkcji skalarnych, opisujących pola skalarne jak i funkcji wektorowych (pól wektorowych).
Przykładem pola skalarnego jest pole temperatury \( T(x,y,z). \)
Jeśli na przykład pole zmiany temperatury opisane jest w przestrzeni funkcją skalarną
\( T(x,y,z) = sin( x^2 +y^2 + z^2), \) to gradient tej funkcji jest równy
\( \nabla T =( T'_{|x}, \ \ T'_{|y},\ \ T'_{|z}) = ( 2x\cdot\cos(x^2 +y^2 +z^2), 2y\cdot\cos(x^2 +y^2 + z^2), 2z\cdot\cos(x^2 +y^2 + z^2))\)
i wskazuje kierunek najszybszego wzrostu temperatury.
W mechanice gradient pola wektorowego sił opisuje równanie
\( \vec{F} = -\nabla E_{p}\)
Znak minus wskazuje, że w przyrodzie siły oddziaływania dążą do największego spadku energii potencjalnej.
Podany przykład \( E = - grad V \) jest analogiem do przykładu mechanicznego i oznacza, że natężenie pola elektrostatycznego dąży do maksymalnego spadku potencjału elektrostatycznego.
W teorii płynów siła \( \vec{F} \) styczna do powierzchni cieczy lepkiej jest proporcjonalna do wielkości tej powierzchni \( S \) i do gradientu prędkości przepływu cieczy \( \nabla \vec{v} \).
Współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik lepkości \(\eta \) cieczy zależny od jej rodzaju.
Co możemy zapisać
\( \vec{F} = \eta \cdot S \cdot \nabla \vec{v}. \)
W wielu zagadnieniach fizycznych gradient funkcji ( pola) wygodnie jest przedstawiać w innych współrzędnych niż współrzędne kartezjańskie. Na przykład we współrzędnych biegunowych czy cylindrycznych. Upraszcza to opis i rozwiązanie wiele problemów fizycznych.
Na przykład w elektrostatyce potencjał ładunku punktowego
\( f(\vec{r}) = \nabla f = \frac{\partial}{\partial r} f(r) \hat{r}. \)
Gradient oznaczamy w skrócie literami \( grad( \cdot ) \) lub hebrajską literą \( \nabla \) (nazwa pochodzi od greckiego wyrazu określającego hebrajską harfę).
Gradient odnosi się zarówno do funkcji skalarnych, opisujących pola skalarne jak i funkcji wektorowych (pól wektorowych).
Przykładem pola skalarnego jest pole temperatury \( T(x,y,z). \)
Jeśli na przykład pole zmiany temperatury opisane jest w przestrzeni funkcją skalarną
\( T(x,y,z) = sin( x^2 +y^2 + z^2), \) to gradient tej funkcji jest równy
\( \nabla T =( T'_{|x}, \ \ T'_{|y},\ \ T'_{|z}) = ( 2x\cdot\cos(x^2 +y^2 +z^2), 2y\cdot\cos(x^2 +y^2 + z^2), 2z\cdot\cos(x^2 +y^2 + z^2))\)
i wskazuje kierunek najszybszego wzrostu temperatury.
W mechanice gradient pola wektorowego sił opisuje równanie
\( \vec{F} = -\nabla E_{p}\)
Znak minus wskazuje, że w przyrodzie siły oddziaływania dążą do największego spadku energii potencjalnej.
Podany przykład \( E = - grad V \) jest analogiem do przykładu mechanicznego i oznacza, że natężenie pola elektrostatycznego dąży do maksymalnego spadku potencjału elektrostatycznego.
W teorii płynów siła \( \vec{F} \) styczna do powierzchni cieczy lepkiej jest proporcjonalna do wielkości tej powierzchni \( S \) i do gradientu prędkości przepływu cieczy \( \nabla \vec{v} \).
Współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik lepkości \(\eta \) cieczy zależny od jej rodzaju.
Co możemy zapisać
\( \vec{F} = \eta \cdot S \cdot \nabla \vec{v}. \)
W wielu zagadnieniach fizycznych gradient funkcji ( pola) wygodnie jest przedstawiać w innych współrzędnych niż współrzędne kartezjańskie. Na przykład we współrzędnych biegunowych czy cylindrycznych. Upraszcza to opis i rozwiązanie wiele problemów fizycznych.
Na przykład w elektrostatyce potencjał ładunku punktowego
\( f(\vec{r}) = \nabla f = \frac{\partial}{\partial r} f(r) \hat{r}. \)
Gradient oznaczamy w skrócie literami \( grad( \cdot ) \) lub hebrajską literą \( \nabla \) (nazwa pochodzi od greckiego wyrazu określającego hebrajską harfę).