Gradient

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jeremyyy
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 26
Rejestracja: 02 mar 2021, 18:41
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Gradient

Post autor: Jeremyyy »

Omówić interpretację wzoru \(E=−grad V\). Podać przykłady innych par wielkości fizycznych opisywanych analogiczną formułą matematyczną.

\(E=−\triangledown V\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1428
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Gradient

Post autor: janusz55 »

Korekta

Gradient odnosi się zarówno do funkcji skalarnych, opisujących pola skalarne jak i funkcji wektorowych (pól wektorowych).

Przykładem pola skalarnego jest pole temperatury \( T(x,y,z). \)

Jeśli na przykład pole zmiany temperatury opisane jest w przestrzeni funkcją skalarną

\( T(x,y,z) = sin( x^2 +y^2 + z^2), \) to gradient tej funkcji jest równy

\( \nabla T =( T'_{|x}, \ \ T'_{|y},\ \ T'_{|z}) = ( 2x\cdot\cos(x^2 +y^2 +z^2), 2y\cdot\cos(x^2 +y^2 + z^2), 2z\cdot\cos(x^2 +y^2 + z^2))\)

i wskazuje kierunek najszybszego wzrostu temperatury.

W mechanice gradient pola wektorowego sił opisuje równanie

\( \vec{F} = -\nabla E_{p}\)

Znak minus wskazuje, że w przyrodzie siły oddziaływania dążą do największego spadku energii potencjalnej.

Podany przykład \( E = - grad V \) jest analogiem do przykładu mechanicznego i oznacza, że natężenie pola elektrostatycznego dąży do maksymalnego spadku potencjału elektrostatycznego.

W teorii płynów siła \( \vec{F} \) styczna do powierzchni cieczy lepkiej jest proporcjonalna do wielkości tej powierzchni \( S \) i do gradientu prędkości przepływu cieczy \( \nabla \vec{v} \).

Współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik lepkości \(\eta \) cieczy zależny od jej rodzaju.

Co możemy zapisać

\( \vec{F} = \eta \cdot S \cdot \nabla \vec{v}. \)

W wielu zagadnieniach fizycznych gradient funkcji ( pola) wygodnie jest przedstawiać w innych współrzędnych niż współrzędne kartezjańskie. Na przykład we współrzędnych biegunowych czy cylindrycznych. Upraszcza to opis i rozwiązanie wiele problemów fizycznych.

Na przykład w elektrostatyce potencjał ładunku punktowego

\( f(\vec{r}) = \nabla f = \frac{\partial}{\partial r} f(r) \hat{r}. \)

Gradient oznaczamy w skrócie literami \( grad( \cdot ) \) lub hebrajską literą \( \nabla \) (nazwa pochodzi od greckiego wyrazu określającego hebrajską harfę).
ODPOWIEDZ