3 zadania z Prawa Gaussa

[michal16]

1. Ładunek punktowy Q otoczono współśrodkowa nieprzewodzącą sferą o promieniu R, którą naładowano jednorodnie ładunkiem elektrycznym o stałej gęstości powierzchniowej \(σ_{q} \). Obliczyć jak zmienia się natężenie pola elektrycznego E w funkcji odległości r od ładunku punktowego. Narysować wykres zmian. Obliczyć napięcie pomiędzy punktami A i B \(U_{ab} \), punkt A w odległości \( \frac{R}{2} \) od ładunku punktowego, punkt B w odległości równej 2R ładunku punktowego.

2. Ładunek elektryczny uformowano w postaci wydrążonej kuli o promieniu wewnętrznym \(R_{1} \) i promieniu zewnętrznym \(R_{2} \) naładowanej jednorodnie ze stałą gęstością objętościową \(ϱ_{v} \). Obliczyć jak zmienia się natężenie pola elektrycznego E w funkcji odległości od środka kuli r. Narysować wykres zmian. Obliczyć napięcie pomiędzy punktami A i B \(U_{ab} \), punkt A leży w środku kuli, punkt B w odległości równej \(2R_{2} \) od środka kuli.

3. Ładunek elektryczny umieszczono wzdłuż nieskończenie długiej i nieskończenie cienkiej nici z gęstością liniową τ. Nić otoczono współosiową nieskończenie długą wartwą ładunku elektrycznego w postaci wydrążonego walca o promieniach \(R_{1} \) i \(R_{2} \) naładowanego z stałą gęstością objętościową \(σ_{q} \). Obliczyć jak zmienia się natężenie pola elektrycznego E w funkcji odległości od nici r. Narysować wykres zmian. Obliczyć napięcie pomiędzy punktami A i B \(U_{ab} \) jeżeli punkt A odległy jest od nici o \( \frac{R_{1}}{2} \) a punkt B o \(2R_{2} \).


Pierwsze zadanie zacząłem rozwiązywać następująco:
\(\oint_{0}^{} \overrightarrow{E} \overrightarrow{ds} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Ponieważ \( \overrightarrow{E}|| \overrightarrow{ds} \) to wyrażenie po lewej stronie będzie równe: \( E*4*\pi*r^{2} \)

Gdyby nie było ładunku punktowego w środku to dla r < R mamy:
\( E(r) = 0 \)

Ale ładunek jest więc dla r < R:
\( E*4*\pi*r^{2} = \frac{Q}{\epsilon_{0}} \)
\( E(r) = \frac{Q}{4*\pi*\epsilon_{0}*r^{2}} \)

I teraz mam problem ze zrozumieniem co będzie się działo dla \( r \ge R \)
Czy ten ładunek Q który znajduje się wewnątrz nieprzewodzącej sfery będzie jakoś wpływał na wynik?
Czy będzie to po prostu dla \( r \ge R \):
\( E*4*\pi*r^{2} = \frac{σ_{q} * 4*\pi*R^{2}}{\epsilon_{0}} \)
\( E(r) = \frac{σ_{q}*R^{2}}{\epsilon_{0}*r^{2}} \)

Niestety za zadanie 2 i 3 nie mam pojęcia jak się za nie zabrać, bardzo proszę o pomoc.

[panb]

1. Ładunek punktowy Q otoczono współśrodkowa nieprzewodzącą sferą o promieniu R, którą naładowano jednorodnie ładunkiem elektrycznym o stałej gęstości powierzchniowej \(σ_{q} \). Obliczyć jak zmienia się natężenie pola elektrycznego E w funkcji odległości r od ładunku punktowego. Narysować wykres zmian. Obliczyć napięcie pomiędzy punktami A i B \(U_{ab} \), punkt A w odległości \( \frac{R}{2} \) od ładunku punktowego, punkt B w odległości równej 2R ładunku punktowego.


I teraz mam problem ze zrozumieniem co będzie się działo dla \( r \ge R \)
Czy ten ładunek Q który znajduje się wewnątrz nieprzewodzącej sfery będzie jakoś wpływał na wynik?

Oczywiście, że będzie wpływał.
\( \text{Dla } r>R,\,\,\, Q_{wew}=Q+4\pi R^2\sigma_q\\
E\cdot 4\pi r^2= \frac{Q_{wew}}{ \varepsilon_0 } \)