zadanie Równanie Bernouliego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Auris331341
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 04 sty 2021, 13:20
- Podziękowania: 3 razy
- Płeć:
zadanie Równanie Bernouliego
Woda ze zbiornika wypływa przez przewód rozgałęziający się w sposób pokazany na rysunku. Średnice rozgałęzień przewodów wylotowych są równe i wynoszą d = 25 mm. Odległość h = 1,2 m. Jaka musi być wysokość H wody w zbiorniku, aby wydatek wody wypływającej przez przewód górny był dwa razy mniejszy od wydatku wody płynącej przez przewód dolny? Obliczyć również wydatki QV1i QV2.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1532
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 400 razy
Re: zadanie Równanie Bernouliego
Z równań Bernoulliego ułożonych dla przekrojów \( O1, \ \ O2 \) wyznaczamy prędkości wypływu wody \( c_{1}, \ \ c_{2}.\)
Przekrój \( O1: \)
\( \frac{c_{0}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + H = \frac{c^2_{1}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + h \ \ (1) \)
Przekrój \( O2: \)
\( \frac{c_{0}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + H = \frac{c^2_{2}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} - h \ \ (2) \)
Zakładając, że początkowa prędkość wypływu wody była równa \( c_{0} = 0, \) z równań \( (1), \ \ (2) \) wyznaczmy kolejno prędkości \( c_{1}, \ \ c_{2} \)
\( \frac{c_{0}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + H = \frac{c^2_{1}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + h \)
\(\frac{0}{2g} + H = \frac{c^2_{1}}{2g} \)
\( \frac{0}{2g} + H = \frac{c^2_{2}}{2g} - h \)
Stąd
\( c_{1} = \sqrt{2g(H - h)}\)
\( c_{2} = \sqrt{2g(H +h)} \)
Objętościowe natężenia przepływu (wydatki) wody w poszczególnych przewodach wynoszą
\( Q_{V_{1}} = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot c_{1} = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H - h)} \ \ (3) \)
\( Q_{V_{2}} = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot c_{2} = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H + h)} \ \ (4) \)
Z porównania równań \( (3), \ \ (4) \), że jeśli
\( Q_{V_{2}} = 2Q_{V{1}} \)
to
\( \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H + h)} = 2\cdot \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H - h)} \)
Skąd po uproszczeniu przez \( \frac{\pi d^2}{4} \)
\( \sqrt{ 2g( H+h)} = 2\cdot \sqrt{2g(H -h)} \)
i podniesieniu do kwadratu
\( H +h = 4 H - 4h \)
\( 3H = 5 h \)
\( H = \frac{5}{3} h \)
Dla \( h = 1,2 \ \ m \)
\( H = \frac{5}{3}\cdot 1, 2 m = \frac{6}{3} \ \ m = 2 \ \ m. \)
Proszę podstawić do równań \( (3), \ \ (4) \ \ H = 2 \ \ m \) i pozostałe dane liczbowe wynikające z treści zadania i obliczyć wydatki \( Q_{V_{1}}, \ \ Q_{V_{2}} \) oraz sprawdzić zgodność jednostki.
Przekrój \( O1: \)
\( \frac{c_{0}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + H = \frac{c^2_{1}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + h \ \ (1) \)
Przekrój \( O2: \)
\( \frac{c_{0}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + H = \frac{c^2_{2}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} - h \ \ (2) \)
Zakładając, że początkowa prędkość wypływu wody była równa \( c_{0} = 0, \) z równań \( (1), \ \ (2) \) wyznaczmy kolejno prędkości \( c_{1}, \ \ c_{2} \)
\( \frac{c_{0}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + H = \frac{c^2_{1}}{2g} + \frac{p_{b}}{\gamma} + h \)
\(\frac{0}{2g} + H = \frac{c^2_{1}}{2g} \)
\( \frac{0}{2g} + H = \frac{c^2_{2}}{2g} - h \)
Stąd
\( c_{1} = \sqrt{2g(H - h)}\)
\( c_{2} = \sqrt{2g(H +h)} \)
Objętościowe natężenia przepływu (wydatki) wody w poszczególnych przewodach wynoszą
\( Q_{V_{1}} = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot c_{1} = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H - h)} \ \ (3) \)
\( Q_{V_{2}} = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot c_{2} = \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H + h)} \ \ (4) \)
Z porównania równań \( (3), \ \ (4) \), że jeśli
\( Q_{V_{2}} = 2Q_{V{1}} \)
to
\( \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H + h)} = 2\cdot \frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot \sqrt{2g(H - h)} \)
Skąd po uproszczeniu przez \( \frac{\pi d^2}{4} \)
\( \sqrt{ 2g( H+h)} = 2\cdot \sqrt{2g(H -h)} \)
i podniesieniu do kwadratu
\( H +h = 4 H - 4h \)
\( 3H = 5 h \)
\( H = \frac{5}{3} h \)
Dla \( h = 1,2 \ \ m \)
\( H = \frac{5}{3}\cdot 1, 2 m = \frac{6}{3} \ \ m = 2 \ \ m. \)
Proszę podstawić do równań \( (3), \ \ (4) \ \ H = 2 \ \ m \) i pozostałe dane liczbowe wynikające z treści zadania i obliczyć wydatki \( Q_{V_{1}}, \ \ Q_{V_{2}} \) oraz sprawdzić zgodność jednostki.