2 Zadania- moment bezwładności ,środek masy

[Kiras]

1.Wyznaczyć położenie środka masy bryły w kształcie paraboloidy obrotowej o wysokości H i masie m, która powstała w wyniku obrotu paraboli o równaniu z = 2a*(x^2) dookoła osi OZ.

2.Obliczyć moment bezwładności trójkąta równoramiennego o podstawie a, wysokości h i gęstości powierzchniowej q, względem:
a) osi symetrii trójkąta,
b) podstawy a jako osi,
c) względem osi równoległej do osi symetrii i przechodzącej przez jeden z wierzchołków podstawy trójkąta.

Bardzo proszę o rozwiązanie tych zadań , męcze się z nimi już którąś godzine i nic nie moge wymyślić ...

[panb]

2.Obliczyć moment bezwładności trójkąta równoramiennego o podstawie a, wysokości h i gęstości powierzchniowej q, względem:
a) osi symetrii trójkąta,

Ilustracja

rys1.png (8.44 KiB) Przejrzano 1239 razy

Na rysunku widzimy trójkąt, o którym mowa w zadaniu z zaznaczoną osią obrotu.
Czarna gruba kreska, to element masy \(dm\) znajdujący się w odległości x od tej osi.
Zgodnie z definicją \(I= \int_{-a/2}^{a/2}x^2dm \).

Wyróżniony element \(dm=qdS\), gdzie \(dS\) jest powierzchnią tego elementu.
Element ten ma wysokość \(h_x\) i szerokość \(dx\), więc \( dS=h_xdx\). Wysokość \(h_x\) spełnia na mocy tw. Talesa warunek:\( \frac{h_x}{h} = \frac{ \frac{a}{2}-x }{ \frac{a}{2} } \So h_x= \frac{h(a-2x)}{a} \)

Reasumując
\[I= \int_{-a/2}^{a/2}x^2qh_xdx =\int_{-a/2}^{a/2} \frac{qhx^2(a-2x)}{a}dx = \frac{qh}{a} \int_{-a/2}^{a/2}x^2(a-2x)dx = \frac{qha^3}{12} \]

[panb]

b) podstawy a jako osi,

ilustracja

rys2.png (8.48 KiB) Przejrzano 1237 razy

Podobnie jak poprzednio \(I= \int_{0}^{h}x^2dm\\ dm=ql_xdx,\quad \frac{l_x}{a} = \frac{h-x}{h} \So l_x= \frac{a(h-x)}{h} \\
I= \int_{0}^{h}x^2 \frac{qa(h-x)}{h}dx= \frac{qah^3}{12} \)

Odpowiedź: \[I= \frac{qah^3}{12} \]

[korki_fizyka]

http://www.foton.if.uj.edu.pl/documents ... a96a240950