Ruch obrotowy - bryła sztywna

[Griks]

Bryłę, której moment bezwładności względem stałej osi obrotu \(Z\) wynosi \(I_z\) mogącą się obracać dookoła tej osi, wprawiono w ruch stałym momentem napędowym \(M_z\). Moment oporowy działający na bryłę jest proporcjonalny do jej prędkości i wynosi \(k* \omega\). Wyznaczyć prędkość kątową bryły. Warunki początkowe są zerowe.

Skorzystałem z tw. o pochodnej krętu i otrzymałem takie równane:
\(I_z * \frac{dw}{dt} = M_z - k* \omega\)

Dalej wypadałoby to scałkować, ale nie wiem jak to zrobić bo wychodzą mi dziwne wyniki.

Prawidłowa odpowiedź to \(\omega = \frac {M_z}{k} * (1-e^{\frac {k*t}{I_z}})\)

[korki_fizyka]

Skorzystałem z tw. o pochodnej krętu i otrzymałem takie równane:
\(I_z * \frac{dw}{dt} = M_z - k* \omega\)

Jest to r-nie różniczkowe niejednorodne, rozwiązuje się je metodą uzmienniania stałej wprowadzając nową zmienną

\(q(\omega) = \frac{M}{I} - \frac{k}{I} \omega\)

wtedy \(dq = - \frac{k}{I}d\omega \So d\omega =- \frac{I}{k}dq\)

i r-nie staje się prostsze \(d\omega = q(\omega) dt\), z którym sobie na pewno już poradzisz.