Zadanie z pochodną

[dromanow]

Cześć! Mam takie zadanie, z którym nie mogę sb poradzić:

1.Samochód znajduje się w punkcie A na otoczonej polem autostradzie. Kierowca chce
jak najszybciej dojechać do oddalonego o l od autostrady punktu B. W jakiej odległości
od punktu D kierowca musi wjechać na pole, jeżeli prędkość samochodu na
polu jest η razy mniejsza od prędkości na autostradzie?



ODP:
CD= \frac{l}{ \sqrt{n^2 -1} }

[dromanow]

Screen zadania:
https://zapodaj.net/7893059888438.png.html

[korki_fizyka]

Pochodna nie jest potrzebna wystarczy zasada Fermata.

[korki_fizyka]

Ale skoro się upierasz
oznaczenia: AD = d, CD = x
szukamy minimum funkcji: \(t(x) = t_1 + t_2\)
\(t_1\) - czas pokonania odcinka na autostradzie z prędkością \(v\)
\(t_2\) - czas pokonania odcinka na polu z prędkością \(\frac{v}{n}\)
\(t(x) = \frac{d-x + n\sqrt{x^2 + l^2}}{v}\),
szukamy ekstremum tej funkcji (minimum) w przedziale [0,d]
\(\frac{dt}{dx}= - \frac{1}{v} + \frac{nx}{v\sqrt{x^2 + l^2}} = 0 \So x = \frac{l}{\sqrt{n^2 - 1}}\).