Obliczyć siłę oddziaływania grawitacyjnego między cienkim, jednorodnym prętem o długości \(L\) i masie \(M\) oraz punktem materialnym o masie m, leżącym na symetralnej pręta w odległości \(r\) od niego.
Moja próba:
Dzielimy pręt na małe części, które traktujemy jako punktowe. Ma taki punkt masę \(dM\) oraz długość \(dL\).
Z jednorodności mamy \(p= \frac{M}{L}= \frac{dM}{dL}\). Na każdy punkt działa siła grawitacyjna równa: \(F=G \cdot \frac{dM \cdot m}{ \frac{r^2}{cos^2 \alpha} }\).
Muszę zatem wyliczyć: \(\int_{- \frac{L}{2} }^{ \frac{L}{2} } \frac{G \cdot dM \cdot m \cdot cos^2 \alpha}{r^2}\).
Z jednorodności zamienię \(dM\) na \(dL\) i stałe dam przed całkę otrzymując: \(\frac{G \cdot M \cdot m}{L \cdot r^2} \int_{- \frac{L}{2} }^{ \frac{L}{2} } cos^2 \alpha \cdot dL\)
Ale co dalej? Przecież kąt \(\alpha\) też się zmienia, zależnie od położenia punktu w pręcie. Proszę o pomoc.
Bierzesz oddziaływanie grawitacyjne wypadkowe od pary elementów \(dM\) położonych symetrycznie względem środka pręta i odległych od tego środka o \(l\).
One są odległe od masy punktowej o \(d\)
Wtedy \(d^2= l^2 +r^2\)
To oddziaływanie wypadkowe od pary elementów , jak każdą z dwóch sił przyciagania rozłożysz na składowe to dostanie sumę dwóch składowych równoległych . czyli \(2 \cdot F_{ \parallel }= 2 \cdot F \cdot \cos \alpha\) , gdzie \(\cos \alpha =\frac{r}{ d}\)
Stąd \(2 \cdot F \cdot \frac{r}{ d}=2 \cdot \frac{dM \cdot m \cdot G}{d^2} \cdot \frac{r}{ d} = \frac{2dM \cdot m \cdot G \cdot r}{ ( \sqrt{l^2+r^2} )^3}\) , jeszcze podmiana \(dM\)\(\\) i całkowanie w Twoich granicach.
