Wektory

[opop1995]

1. Wierzchołki trójkąta CDE \(C[1,−2,1] , D[1,0 ,0] , E[−3,1,3]\) . Należy
obliczyć długości boków i kąty trójkąta oraz pole trójkąta. Wyznaczyć wektor jednostkowy prostopadły do
powierzchni trójkąta
2. Znaleźć rzut prostopadły wektora ⃗\(a=[1,0 ,−1]\) na płaszczyznę \(2 x+ 3 y−z−7=0 .\)
3. Rozłożyć wektor\(⃗a=[1,2,3]\) na składową równoległą i prostopadłą do wektora
\(⃗b=[1,−1,1]\) .

[radagast]

1. Wierzchołki trójkąta CDE \(C[1,−2,1] , D[1,0 ,0] , E[−3,1,3]\) . Należy
obliczyć długości boków i kąty trójkąta oraz pole trójkąta. Wyznaczyć wektor jednostkowy prostopadły do
powierzchni trójkąta

\(C(1,−2,1) , D(1,0 ,0) , E(−3,1,3)\)
\(\vec{CD}=[0,2,-1]\)
\(\vec{DE}=[-4,1,3]\)
\(\vec{CE}=[-4,3,2]\)

zatem:

\(|CD|= \sqrt{5}\)
\(|DE|= \sqrt{26}\)
\(|CE|= \sqrt{29}\)


\(P_{ \Delta CDE}= \frac{1}{2} |\vec{CD} \times \vec{DE}|= \frac{1}{2}|[7,-4,8]|= \frac{ \sqrt{129} }{2}\)


Wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni trójkąta: \(\vec{u} =[ \frac{7}{\sqrt{129} } , \frac{-4}{\sqrt{129} } , \frac{8}{\sqrt{129} } ]\)


Policzę tylko kąt \(\delta\) przy wierzchołku D : \(\cos \delta'= \frac{ \vec{CD} \circ \vec{DE} }{|CD||DE|} = \frac{-1}{ \sqrt{130} }\) ( \(\delta'\) jest więc kątem rozwartym, nie jest więc kątem wewnętrznym tego trójkąta, bo on jest ostrokątny (wniosek z twierdzenia cosinusów)). Kąt \(\delta\) , którego szukamy ma miarę \(\pi - \delta'\).

[radagast]

3. Rozłożyć wektor\(⃗a=[1,2,3]\) na składową równoległą i prostopadłą do wektora
\(⃗b=[1,−1,1]\) .

Obawiam się , że się nie da (przestrzeń trójwymiarowa wymaga 3 wektorów bazowych)
chyba, że chodzi tylko o rzuty wektora \(\vec{a}\) na \(\vec{b}\) i jakiś prostopadły do niego. Wtedy się da ( i to na wiele sposobów) .

[radagast]

"Zgadnijmy" dowolny punkt z płaszczyzny: \(P= \left( 1,1,-2\right)\) (on po prostu spełnia jej równanie)
Koniec wektora \(\left[ 1,2,3\right]\) zaczepionego w punkcie \(P= \left( 1,1,-2\right)\) to \(Q= \left( 2,3,1\right)\)
Prosta prostopadła do płaszczyzny , przechodząca przez Q ma przedstawienie parametryczne:
\(p(t)= \left(2t+2,3t+3,-t+1 \right)\)
przecina płaszczyznę gdy \(t=- \frac{5}{14}\)
czyli w punkcie \(Q'= \left( \frac{19}{7} , \frac{57}{14} ,- \frac{9}{14} \right)\)
Wektor \(\vec{PQ'}= \left[ \frac{12}{14} ,\frac{43}{14} , \frac{19}{14} \right]\) jest szukanym rzutem.

Uwaga , brzydkie liczby mogą być wynikiem moich błędów rachunkowych. Należy to sprawdzić. W razie niejasności pytaj.

[sylwiak]

"Zgadnijmy" dowolny punkt z płaszczyzny: \(P= \left( 1,1,-2\right)\) (on po prostu spełnia jej równanie)
Koniec wektora \(\left[ 1,2,3\right]\) zaczepionego w punkcie \(P= \left( 1,1,-2\right)\) to \(Q= \left( 2,3,1\right)\)
Prosta prostopadła do płaszczyzny , przechodząca przez Q ma przedstawienie parametryczne:
\(p(t)= \left(2t+2,3t+3,-t+1 \right)\)
przecina płaszczyznę gdy \(t=- \frac{5}{14}\)
czyli w punkcie \(Q'= \left( \frac{19}{7} , \frac{57}{14} ,- \frac{9}{14} \right)\)
Wektor \(\vec{PQ'}= \left[ \frac{12}{14} ,\frac{43}{14} , \frac{19}{14} \right]\) jest szukanym rzutem.

Uwaga , brzydkie liczby mogą być wynikiem moich błędów rachunkowych. Należy to sprawdzić. W razie niejasności pytaj.

Błąd jest. Ponieważ wzięty nie ten wektor. Wzięty jest z zadania nr 3 [1, 2, 3], a powinien być [1, 0, -1]