Ile razy zmniejszy się energia całkowita drgań wahadła sekundowego po upływie 5 minut, jeśli logarytmiczny dekrement tłumienia wynosi 0,031?
Bardzo proszę o pomoc z tym zadankiem;)
Zadanie z ruchem tłumionym
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
marcysia1991
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 15 gru 2010, 21:58
-
glodzio
- Rozkręcam się
- Posty: 40
- Rejestracja: 12 gru 2010, 10:18
- Otrzymane podziękowania: 16 razy
- Płeć:
Witam
Wahało jednosekundowe posiada okres drgań \(T=1 \left[ s\right]\).
Logarytmiczny dekrement tłumienia równy jest logarytmowi naturalnemu ze stosunku dwóch kolejnych maksymalnych wychyleń
(czyli amplitud) drgającego ciała od położenia równowagi:
\(ln \frac{A_1}{A_2}\), gdzie \(A_1\) oznacza amplitudę wychylenia w chwili rozpoczęcia opisu ruchu (chwila ta
może być właściwie dowolna), \(A_2\) oznacza amplitudę wychylenia po upłynięciu czasu równego okresowi \(T\).
Obliczymy ile razy amplituda \(A_1\) jest mniejsza od amplitudy \(A_2\):
\(ln \frac{A_1}{A_2}=0,031\)
Stąd:
\(\frac{A_1}{A_2}=e^{0,031} \approx 1,0315\)
Wynika z tego że po czasie równym jednemu okresowi \(T\) amplituda wychylenia zmalała 1,0315 razy.
Obliczymy ile razy zmaleje amplituda wychylenia po upływie 5 minut.
W ciągu 5 minut wahadło wykona następującą ilość wahnięć (okresów \(T\)):
\(\frac{5 \left[ min\right] }{1 \left[ s\right] } = \frac{5 \cdot 60 \left[s \right] }{1 \left[ s\right] } =300\)
Zatem stosunek amplitud na początku i po upływie 300 okresów wynosi:
\(\frac{A_1}{A_{300}}=300 \cdot e^{0,031} = 300 \cdot 1,0315 = 309,45\)
Energia całkowita w ruchu drgającym wynosi:
\(E_c= \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2\), gdzie \(k\) to stały współczynnik (nas on tu nie interesuje), \(A\)
to amplituda wychylenia wahadła
Energia całkowita na początku opisu drgań ma wartość:
\(E_{c1}= \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_1^2\)
Energia całkowita po upływie 5 minut (300 sekund) ma wartość:
\(E_{c300}= \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_{300}^2\)
Ale obliczyliśmy, że amplituda po 5 minutach jest 309,45 razy mniejsza niż na początku, zatem:
\(A_{300}= \frac{A_1}{309,45} \approx 0,003232 \cdot A_1\)
Energia całkowita zmniejszy się więc:
\(\frac{E_{c1}}{E_{c300}} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_1^2 } { \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_{300}^2 } = \frac{ \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_1^2 } { \frac{1}{2} \cdot k \cdot 0,003232^2 \cdot A_1^2} = \frac{1}{0,003232^2} \approx 95 732 \left[ razy\right]\)
Wahało jednosekundowe posiada okres drgań \(T=1 \left[ s\right]\).
Logarytmiczny dekrement tłumienia równy jest logarytmowi naturalnemu ze stosunku dwóch kolejnych maksymalnych wychyleń
(czyli amplitud) drgającego ciała od położenia równowagi:
\(ln \frac{A_1}{A_2}\), gdzie \(A_1\) oznacza amplitudę wychylenia w chwili rozpoczęcia opisu ruchu (chwila ta
może być właściwie dowolna), \(A_2\) oznacza amplitudę wychylenia po upłynięciu czasu równego okresowi \(T\).
Obliczymy ile razy amplituda \(A_1\) jest mniejsza od amplitudy \(A_2\):
\(ln \frac{A_1}{A_2}=0,031\)
Stąd:
\(\frac{A_1}{A_2}=e^{0,031} \approx 1,0315\)
Wynika z tego że po czasie równym jednemu okresowi \(T\) amplituda wychylenia zmalała 1,0315 razy.
Obliczymy ile razy zmaleje amplituda wychylenia po upływie 5 minut.
W ciągu 5 minut wahadło wykona następującą ilość wahnięć (okresów \(T\)):
\(\frac{5 \left[ min\right] }{1 \left[ s\right] } = \frac{5 \cdot 60 \left[s \right] }{1 \left[ s\right] } =300\)
Zatem stosunek amplitud na początku i po upływie 300 okresów wynosi:
\(\frac{A_1}{A_{300}}=300 \cdot e^{0,031} = 300 \cdot 1,0315 = 309,45\)
Energia całkowita w ruchu drgającym wynosi:
\(E_c= \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2\), gdzie \(k\) to stały współczynnik (nas on tu nie interesuje), \(A\)
to amplituda wychylenia wahadła
Energia całkowita na początku opisu drgań ma wartość:
\(E_{c1}= \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_1^2\)
Energia całkowita po upływie 5 minut (300 sekund) ma wartość:
\(E_{c300}= \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_{300}^2\)
Ale obliczyliśmy, że amplituda po 5 minutach jest 309,45 razy mniejsza niż na początku, zatem:
\(A_{300}= \frac{A_1}{309,45} \approx 0,003232 \cdot A_1\)
Energia całkowita zmniejszy się więc:
\(\frac{E_{c1}}{E_{c300}} = \frac{ \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_1^2 } { \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_{300}^2 } = \frac{ \frac{1}{2} \cdot k \cdot A_1^2 } { \frac{1}{2} \cdot k \cdot 0,003232^2 \cdot A_1^2} = \frac{1}{0,003232^2} \approx 95 732 \left[ razy\right]\)
-
jasiumalinowy15
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 19 sty 2019, 23:03
- Płeć: