termometr rtęciowy

[kama2]

Załóżmy, że stałe pole przekroju poprzecznego wynosi \(A_o\) (nie zmienia się z temperaturą), oraz że Vo jest objętością zbiorniczka rtęci w temperaturze \(t_o= 0^o\)C. Wykazać, że jeżeli rtęć całkowicie wypełnia zbiorniczek w temperaturze \(t_o\), to długość słupa rtęci w kapilarze w temperaturze t wynosi:\(\frac{V_o}{A_o}(\beta -3 \alpha)\Delta t\), przy czym \(\beta\) jest współczynnikiem rozszerzalności objętościowej rtęci, a \(\alpha\) współczynnikiem rozszerzalności liniowej szkła.

[janusz55]

Przy rozszerzalności cieczy należy brać pod uwagę, że rozszerza się nie tylko ciecz ale i naczynie zawierające ciecz.

\( V_{0}\cdot (1 + \beta\cdot \Delta t) = V_{0}\cdot (1 + \beta_{s} \cdot \Delta t) \ \ (1) \)

\( V_{0}\cdot (1 + \beta\cdot \Delta t) = V_{0}\cdot (1 + 3\alpha\cdot \Delta t) \ \ (1) \)

Z założenia wynika, że pole przekroju poprzecznego kapilary \( A_{0} \) jest stałe (nie zmienia się wraz ze wzrostem temperatury).

Dzielimy obustronnie równanie \( (1) \) przez \( A_{0}. \)

\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} \cdot (1 +\beta\cdot \Delta t) = \frac{V_{0}}{A_{0}} \cdot(1+3\alpha \cdot \Delta t) \)

\( h \) - wysokość słupa rtęci w kapilarze w temperaturze \( t. \)

Stąd

\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} ( 1 + \beta\cdot \Delta t) - \frac{V_{0}}{A_{0}}( 1 + 3\alpha \cdot \Delta t),\)

\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} \left( 1 + \beta\cdot \Delta t -1 - 3\alpha\cdot \Delta t \right),\)

\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} \left( \beta\cdot \Delta t - 3\alpha\cdot \Delta t \right ).\)


Uzasadnienie równości \( \beta_{s} = 3\alpha \) występującej w \( (1) \)

Z definicji współczynnika rozszerzalności objętościowej

\(\beta_{s} = \frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}\cdot \Delta t} = \frac{3A_{0}\cdot h - A_{0}\cdot h_{0} }{A_{0}\cdot h_{0} \cdot \Delta t} \)

\( \beta_{s} = \frac{3A_{0}(h - h_{0})}{A_{0}\cdot h_{0}\cdot \Delta t} \)

\( \alpha = \frac{h - h_{0}}{h_{0}\cdot \Delta t} \)

\( \frac{h -h_{0}}{h_{0}} = \alpha\cdot \Delta t\)

\( \beta_{s} = \frac{ 3\alpha\cdot \Delta t}{\Delta t} = 3\alpha.\)

[kama2]

\(\beta_{s} = \frac{V_{1} - V_{0}}{V_{0}\cdot \Delta t} = \frac{3A_{0}\cdot h - A_{0}\cdot h_{0} }{A_{0}\cdot h_{0} \cdot \Delta t} \)

a skąd ta "3" się tam wzięła ?

\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} \cdot (1 +\beta\cdot \Delta t) = \frac{V_{0}}{A_{0}} \cdot(1+3\alpha \cdot \Delta t) \)
Stąd
\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} ( 1 + \beta\cdot \Delta t) - \frac{V_{0}}{A_{0}}( 1 + 3\alpha \cdot \Delta t),\)

tu też jakies "czary" była równość a nagle jest odejmowanie

[janusz55]

\( V = 3V_{0} \)- z rozszerzalności cieplnej w trzech wymiarach.

Z uwzględnienia różnicy stron.

[korki_fizyka]

\(l = l_o(1+ \alpha \Delta t), \ \ \ \Delta t = t - t_o \rightarrow t\)

\(A_o(1+ \alpha' \Delta t) = A_o (1+2\alpha t)\), bo \(\alpha' = 2\alpha \)

rozszerzalność w 2 wymiarach, co trzeba by również udowodnić podobnie jak

\(\beta \approx 3\alpha\)

patrz poniżej:

\(\Delta V = V_o\beta t = A_o (1+2\alpha t)\cdot l_o(1+\alpha t) = A_o l_o(1+\alpha t +2\alpha t +2(\alpha t)^2) =A_o l_o(1+3\alpha t +2(\alpha t)^2)\)

ostatni składnik w nawiasie możemy pominąć, bo jest bardzo mały \(\alpha \sim 10^{-6} \rightarrow \alpha^2 \sim 10^{-12}\)

zatem \(\Delta V \approx A_o l_o (1+3\alpha t)\) i \(\beta \approx 3\alpha\).

[kama2]

To dużo wyjaśnia ale nadal nie wiem skąd wzięło się to przejście:

\( h = \frac{V_{0}}{A_{0}} ( 1 + \beta\cdot \Delta t) - \frac{V_{0}}{A_{0}}( 1 + 3\alpha \cdot \Delta t)\)

[janusz55]

Wysokość słupa rtęci w kapilarze jest różnicą wysokości słupa rtęci w zbiorniku i kapilarze pomniejszoną o wysokość słupa rtęci w zbiorniku.

[kama2]

Ale nie było żadnej wysokości słupa, bo Hg w temp. t0 wypełniała cały zbiornik wiec h0 = 0 w tym rzecz!