Zadania uzupełniające

[Taotao2]

1.Czy ciąg \(a_n\) jest ciągiem geometrycznym?
\(a_n= \frac{4\cdot 6^n-3^n}{3^n} \)

2. Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(a_n= \frac{n!}{3^n(n+3)!} \)

3. Oblicz \(2a_5-b_7\), jeśli:
\[ \begin{cases}a_1=1\\a_{n+1}=a_n+n!, n\geq 1, \end{cases} \begin{cases} b_1=1 \\ b_{n+1}=b_n+ { n+1\choose 2 }, n\geq1 \end{cases}\]

4. Czy ciąg \(a_n\) jest ciągiem arytmetycznym?
\(a_n= { n\choose 0} + { n\choose 1} \)

5. Dla jakiej wartości parametru \(k\) funkcja \(f\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie?
\(f(x)=x^3+(k+2)x-10\)

6. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji.
\(f(x)=4x^2+ \frac{1}{x} \)

7. Zbadaj różniczkowalność funkcji \(f\) w punktach \(x_1\) i \(x_2\)
\(f(x)=x \sqrt{x^2-8x+16}, \) \(x_1=0, \ x_2=2\)

[eresh]

1.Czy ciąg \(a_n\) jest ciągiem geometrycznym?
\(a_n= \frac{4\cdot 6^n-3^n}{3^n} \)

\(a_n=\frac{4\cdot 6^n-3^n}{3^n}\\
a_n=\frac{4\cdot 6^n}{3^n}-1\\
a_n=4\cdot 2^n-1\\
a_1=4\cdot 2-1=7\\
a_2=4\cdot 4-1=15\\
a_3=4\cdot 8-1=31\\
\frac{15}{7}\neq\frac{31}{15}\)
ciąg nie jest geometryczny

[eresh]

2. Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_n\)
\(a_n= \frac{n!}{3^n(n+3)!} \)

\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{3^{n+1}(n+4)!}\cdot\frac{3^n(n+3)!}{n!}=\frac{n!(n+1)\cdot 3^n(n+3)!}{n!\cdot 3^n\cdot 3(n+3)!(n+4)}=\frac{(n+1)}{3(n+4)}<1\)
ciąg jest malejący

[eresh]

3. Oblicz \(2a_5-b_7\), jeśli:
\[ \begin{cases}a_1=1\\a_{n+1}=a_n+n!, n\geq 1, \end{cases} \begin{cases} b_1=1 \\ b_{n+1}=b_n+ { n+1\choose 2 }, n\geq1 \end{cases}\]

\(a_1=1\\
a_2=a_1+1!=1+1=2\\
a_3=a_2+2!=2+2=4\\
a_4=a_3+3!=4+6=10\\
a_5=a_4+4!=10+24=34\)

\(b_1=1\\
b_2=b_1+{2\choose 2}=1+1=2\\
b_3=b_2+{3\choose 2}=2+3=5\\
b_4=b_3+{4\choose 2}=5+6=11\\
b_5=b_4+{5\choose 2}=11+10=21\\
b_6=b_5+{6\choose 2}=21+15=36\\
b_7=b_6+{7\choose 2}=36+21=57\)

\(2a_5-b_7=2\cdot 34-57=11\)

[eresh]

4. Czy ciąg \(a_n\) jest ciągiem arytmetycznym?
\(a_n= { n\choose 0} + { n\choose 1} \)

\(a_n=1+n\\
a_{n+1}-a_n=1+n+1-1-n=1=r\)
ciąg jest arytmetyczny

[eresh]

5. Dla jakiej wartości parametru \(k\) funkcja \(f\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie?
\(f(x)=x^3+(k+2)x-10\)

\(f'(x)=3x^2+k+2\\\)
funkcja jest rosnąca, gdy dla każdego \(x:\;\; f'(x)\geq 0\)
\(\Delta\leq 0\\\)
\(-4\cdot 3\cdot (k+2)\leq 0\\
k+2\geq 0\\
k\geq -2\)

[eresh]

6. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji.
\(f(x)=4x^2+ \frac{1}{x} \)

\(x\neq 0\\
f'(x)=8x-\frac{1}{x^2}\\
f'(x)=\frac{8x^3-1}{x^2}\\
f'(x)>0 \iff x>\frac{1}{2}\\
f'(x)<0\iff x<\frac{1}{2}\;\;x\neq 0\\\)
f jest rosnąca dla \(x\in [\frac{1}{2},\infty)\)
f jest malejąca w przedziałach \((-\infty, 0), (0,\frac{1}{2}]\)

[eresh]

7. Zbadaj różniczkowalność funkcji \(f\) w punktach \(x_1\) i \(x_2\)
\(f(x)=x \sqrt{x^2-8x+16}, \) \(x_1=0, \ x_2=2\)

\(f'(x)=\sqrt{x^2-8x+16}+x\cdot\frac{2x-8}{2\sqrt{x^2-8x+16}}\\
f'(x)=\sqrt{x^2-8x+16}+\frac{x(x-4)}{\sqrt{x^2-8x+16}}\\
f'(0)=\sqrt{16}+0=4\\
f'(2)=\sqrt{4}+0=2
\)