Dziedzina i wykres.

[mosdef21]

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) i narysuj jej wykres
a. \(f(x)=-1+ \frac{3}{x}- \frac{9}{x^2} + \ ... \)
b. \(f(x)=-x+x^2-x^3+ \ ...\)
c. \( f(x)=-1+\frac{x-1}{x-2}- (\frac{x-1}{x-2})^2+ \ ... \)
d. \(f(x)=1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}+\ ... \)

[eresh]

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) i narysuj jej wykres
a. \(f(x)=-1+ \frac{3}{x}- \frac{9}{x^2} + \ ... \)

\(q=-\frac{3}{x}\\
|q|<1\\
|\frac{3}{x}|<1\\
3<|x|\\
D=(-\infty, -3)\cup (3,\infty)\\
f(x)=\frac{-1}{1+\frac{3}{x}}\\
f(x)=\frac{-x}{x+3}=\frac{-x-3+3}{x+3}\\
f(x)=-1+\frac{3}{x+3}\)

[eresh]

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) i narysuj jej wykres

b. \(f(x)=-x+x^2-x^3+ \ ...\)

\(f(x)=x(-1+x-x^2+...)\\
q=-x\\
D=(-1,1)\\
f(x)=x\cdot\frac{-1}{1+x}\\
f(x)=\frac{-x}{1+x}\\
f(x)=\frac{-x-1+1}{x+1}\\
f(x)=-1+\frac{1}{x+1}\)

[eresh]

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) i narysuj jej wykres

c. \( f(x)=-1+\frac{x-1}{x-2}- (\frac{x-1}{x-2})^2+ \ ... \)

\(q=-\frac{x-1}{x-2}\\
|\frac{x-1}{x-2}|<1\\
|x-1|<|x-2|\\
x^2-2x+1<x^2-4x+4\\
2x<3\\
x<\frac{3}{2}\\
D=(-\infty, \frac{3}{2})\\
f(x)=\frac{-1}{1+\frac{x-1}{x-2}}\\
f(x)=\frac{-(x-2)}{x-2+x-1}\\
f(x)=\frac{-x+2}{2x-3}\\
f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-x+2}{x-\frac{3}{2}}\\
f(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{x-\frac{3}{2}}\\
f(x)=-\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{0,5}{x-\frac{3}{2}}\\
f(x)=-\frac{1}{2}+\frac{0,25}{x-1,5}
\)

[eresh]

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) i narysuj jej wykres

d. \(f(x)=1+ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}+\ ... \)

\(q=\frac{1}{x}\\
|\frac{1}{x}|<1\\
|x|>1\\
D=(-\infty, -1)\cup (1,\infty)\\
f(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\\
f(x)=\frac{x}{x-1}\\
f(x)=\frac{x-1+1}{x-1}\\
f(x)=1+\frac{1}{x-1}\)

[mosdef21]

A dlaczego wartość bezwględna z ilorazu jest mniejsza od jeden?

[eresh]

A dlaczego wartość bezwględna z ilorazu jest mniejsza od jeden?

bo dla \(|q|<1\) szereg jest zbieżny (nieskończony ciąg geometryczny ma sumę)

[mosdef21]

A jak był by wiekszy? To dlaczego nie miał by granicy?

[eresh]

A jak był by wiekszy? To dlaczego nie miał by granicy?

bo dla \(|q|>1\)
\(\Lim_{n\to\infty}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\) jest niewłaściwa lub nie istnieje

[mosdef21]

Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) i narysuj jej wykres

b. \(f(x)=-x+x^2-x^3+ \ ...\)

\(f(x)=x(-1+x-x^2+...)\\
q=-x\\
D=(-1,1)\\
f(x)=x\cdot\frac{-1}{1+x}\\
f(x)=\frac{-x}{1+x}\\
f(x)=\frac{-x-1+1}{x+1}\\
f(x)=-1+\frac{1}{x+1}\)

A tutaj nie trzeba napisać że zgodnie z tym że \(q=-x\), to że \(x>-1\)?

[eresh]

A tutaj nie trzeba napisać że zgodnie z tym że \(q=-x\), to że \(x>-1\)?

\(|q|<1\\
|-x|<1\\
|x|<1\\
x\in (-1,1)\)

[mosdef21]

to pomyliło się Pani z dziedziną więc \(D=(-\infty;-1) \cup (-1;0)\)

[eresh]

to pomyliło się Pani z dziedziną więc \(D=(-\infty;-1) \cup (-1;0)\)

Nie pomyliło mi się, moje rozwiązanie jest poprawne

[mosdef21]

uwzgledniając to założenie to tak ale ja napisałem tylko dziedzinę funkcji homograficznej f(x)

[eresh]

uwzgledniając to założenie to tak ale ja napisałem tylko dziedzinę funkcji homograficznej f(x)

Ja też:
\(D_f=(-1,1)\)

nie wiem czemu uważasz, że

\(D=(-\infty;-1) \cup (-1;0)\)