Liczba pierwsza - dowód

[PitreWace]

Rozpatrzmy liczby naturalne większe od 1000, w których zapisie występuje tylko cyfra 1. Wykaż, że jeśli liczba 𝒂 zapisana za pomocą 𝒏 jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba 𝒏 również jest liczbą pierwszą.

𝑎 = \( \underbrace{11\cdots111}_n\)

[grdv10]

Ciekawe zadanie, jeszcze nie znam rozwiązania. Jednak zabawiłem się w zbadanie implikacji odwrotnej. Jest ona fałszywa, bo \(3\) jest liczbą pierwszą, ale \(111\) jest liczbą złożoną. Pokusiłem się o zbadanie z zastosowaniem SageMath, dla których liczb pierwszych \(n\) liczba \(a\) jest też pierwsza. Dla liczb pierwszych nie większych niż \(25717\) (tu przerwałem dziesięciogodzinne obliczenia) liczba \(a\) jest pierwsza tylko dla \(n\in\{2,19,23,317,1031\}.\) Liczba \(n=2\) nie spełnia założenia, że \(a>1000\). Ale widać, że nie jest ono tutaj najistotniejsze. Być może rozumowanie, które jakoś uda się znaleźć, będzie działać dla \(a>1000\), czyli dla \(n\geqslant 4\).

[Jerry]

Z reguły kontrapozycji:

Jeżeli \(n\) nie jest liczbą pierwszą, to liczba \(a=\underbrace{11\ldots111}_{n\text{ cyfr }1}\) nie jest liczbą pierwszą.

Istotnie:
\(n=6=2\cdot3\So a=111111=11\cdot10101\\
n=9=3\cdot3\So a=111111111=111\cdot1001001\\
n=p\cdot q\So a=\underbrace{11\ldots1}_{p\text{ cyfr }1}\cdot\underbrace{ \underbrace{10\ldots0}_{(p-1)\text{ cyfr }0}\ldots\underbrace{10\ldots0}_{(p-1)\text{ cyfr }0}1}_{q\text{ cyfr }1}\)
Co czyni zadość prawdziwości tezy zadania.

Pozdrawiam
PS. Ponieważ
\(n=2\So a=11\\ n=3\So a=3\cdot37\\n=5\So a=41\cdot271\\ n=7\So a=239\cdot4649\\n=11\So a=21649\cdot513239\\n=13\So a=53\cdot79\cdot265371653\\ \ldots\)
to postawiłbym hipotezę, że jest jedna (mniejsza od \(1000\)) liczba pierwsza tej postaci

[edited] po powyższym: za wcześnie przestałem pytać Wolframa o faktoryzację liczb danej postaci... hipoteza jest fałszywa

[grdv10]

[edited] po powyższym: za wcześnie przestałem pytać Wolframa o faktoryzację liczb danej postaci... hipoteza jest fałszywa

No to przeczytaj mój post. Oto kod SageMath:

Kod: Zaznacz cały

 k=P.first()
 while k<1000000:
     a=(10^k-1)/9
     if a in P:
         print(f'{k}')
     k=P.next(k)

Podałeś bardzo ładne rozwiązanie zadania.