2 zadania różne

[Elektron]

Proszę o pomoc
1.
\(2\cos x-{1\over \cos x} - 1 <0\), jeżeli \(x \in [0, 2\pi]\)
2.
\(|\sqrt{15} - 49^{\log_7 x}|\) jeśli \(3x=\log_4 4096\)

[Jerry]

2.
\(|\sqrt{15} - 49^{\log_7 x}|\) jeśli \(3x=\log_4 4096\)

Skoro
\(3x=\log_4 4096=6\iff x=2\)
to
\(|\sqrt{15} - 49^{\log_7 x}|=|\sqrt{15} - 49^{\log_{49} x^2}|=|\sqrt{15} - x^2|=|\sqrt{15}-\sqrt{16}|=4-\sqrt{15}\)

Pozdrawiam

[grdv10]

ad 1.

Zakładamy, że \(\cos x\ne 0\) i wstawiamy \(t=\cos x\), a zatem \(t\in[-1,0)\cup(0,1].\) Dochodzimy do nierówności\[2t-\frac{1}{t}-1<0,\]a po obustronnym pomnożeniu przez \(t^2>0\) mamy\[2t^3-t-t^2<0.\]Zatem\[t(2t^2-t-1)<0,\]a pierwiastkami trójmianu w nawiasie są \(1\) oraz \(-\frac{1}{2}.\) Oczywiście jeszcze \(0\) jest pierwiastkiem wielomianu po lewej stronie, ale je wykluczamy (oczywiście uwzględniamy przy analizie znaków). Ostatecznie\[t\in\left[-1,-\frac{1}{2}\right)\cup(0,1].\] Stąd\[-1\leqslant\cos x<-\frac{1}{2}\quad\text{lub}\quad 0<\cos x\leqslant 1.\]Dzieje się tak, gdy\[x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right].\]

[Jerry]

Proszę o pomoc
1.
\(2\cos x-{1\over \cos x} - 1 <0\), jeżeli \(x \in [0, 2\pi]\)

Rozwiązaniem nierówności
\(2t-{1\over t}-1<0\)
w zbiorze \([-1;0)\cup (0;1]\) jest
\(\left[-1;-{1\over2}\right)\cup (0;1]\)
Pozostaje zrobić rysunek i odczytać odpowiedź

Pozdrawiam

[anilewe_MM]

Strona spod linku jest mega!