Liczba naturalna

[Ziknimiki]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \({1\over6}n^3 + n^2 + {11\over6}n + 1\) jest liczbą naturalną

[eresh]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \({1\over6}n^3 + n^2 + {11\over6}n + 1\) jest liczbą naturalną

\(\frac{1}{6}n^3+n^2+\frac{11}{6}n+1=\frac{1}{6}(n^3+6n^2+11n+6)=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)\)
\((n+1)(n+2)(n+3)\) - iloczyn trzech kolejnych liczb naturalny jest podzielny przez 6, więc dana liczba jest naturalna

[Jerry]

\({1\over6}n^3 + n^2 + {11\over6}n + 1={1\over6}\cdot(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6)=\\ \quad={1\over6}\cdot(n+1)(n^2+5n+6)={1\over6}\cdot(n+1)(n+2)(n+3)\)
Pozostaje zauważyć, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(3!=6\)

Pozdrawiam