Wykaż,że ....

[Januszgolenia]

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że \(x \neq y\), spełniona jest nierówność
\(x^4+y^4>xy(x^2+y^2)\)

[kerajs]

\(x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=[(x-y)(x+y)]^2+2x^2y^2-xy(x^2+y^2)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)\)

[Januszgolenia]

Że, \((x-y)^2>0\) to jasne ale dlaczego \((x^2+xy+y^2)>0\).

[kerajs]

np:
\((x^2+xy+y^2)= \frac{1}{2}(2x^2+2xy+2y^2)= \frac{1}{2}(x^2+(x+y)^2+y^2)\).

[Januszgolenia]

To jest zadanie z matury dodatkowej rozszerzonej z 02.06.22.. Niewielu poradziło sobie z tym zadaniem.

[kerajs]

a) \(y=0\) to \(x^4>0\)
b) \(y \neq 0\) to dzielę nierówność przez \(y^4\) dostając
\((\frac{x}{y})^4+1> \frac{x}{y}((\frac{x}{y})^2+1)\)
Przyjmuję \(t=\frac{x}{y}\) co daje
\(t^4+1>t(t^2+1)\\
t^4-t^3-t+1>0\)
Abiturient może zbadać lewą stronę znajdując minimum dla t=1
lub zwinąć:
\(t^3(t-1)-(t-1)>0\\
(t-1)^2(t^2+t+1)>0\)
dostając odpowiednik nierówności z pierwszej odpowiedzi.

[Jerry]

Bardziej "szkolnie", dochodząc oczywiście do wniosku kerajsa:
\(w(x,y)=x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4-xy^3-x^3y+y^4=x(x^3-y^3)-y(x^3-y^3)=\\
\qquad=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2\left[\left(x+{1\over2}y\right)^2+{3\over4}y^2\right]\ge0
\)
i równość zachodzi dla \(x=y\)

Pozdrawiam