Rachunek różniczkowy - trójkąt prostokątny

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kariosfox
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 20 kwie 2022, 22:00
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Rachunek różniczkowy - trójkąt prostokątny

Post autor: kariosfox »

Witam. Zmagam się z zadaniem, które rozumiem ale z jakiegoś powodu nie mogę dojść do rozwiązania.
Treść:
Rozpatrujemy trójkąty prosotokątne, w ktorych suma długości jednej z przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej jest równa 10. Wyznacz pole takiego trójkąta w zależności od długości jego przeciwprostokątnej. Wyznacz długości boków tego trójkąta którego pole jest największe.
Dla trójkąta abc wyznaczyłem \(a=10-c\) dla \( a + c =10\) i wyznaczyłem b z twierdzenia Pitagorasa, ale dalej nie wiem jak mam wyznaczyć pochodną nie znając wzorów na pochodną wielomianu.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Rachunek różniczkowy - trójkąt prostokątny

Post autor: radagast »

kariosfox pisze: 30 kwie 2022, 19:51 Witam. Zmagam się z zadaniem, które rozumiem ale z jakiegoś powodu nie mogę dojść do rozwiązania.
Treść:
Rozpatrujemy trójkąty prosotokątne, w ktorych suma długości jednej z przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej jest równa 10. Wyznacz pole takiego trójkąta w zależności od długości jego przeciwprostokątnej. Wyznacz długości boków tego trójkąta którego pole jest największe.
Dla trójkąta abc wyznaczyłem \(a=10-c\) dla \( a + c =10\) i wyznaczyłem b z twierdzenia Pitagorasa, ale dalej nie wiem jak mam wyznaczyć pochodną nie znając wzorów na pochodną wielomianu.
\(a=10-c\)
\(b= \sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(c-a)(c+a)}=\sqrt{10(c-a)}=\sqrt{10(2c-10)} \)
\(P(a,b)= \frac{ab}{2} \)
\(P(c)= \frac{(10-c)\sqrt{10(2c-10)}}{2}= \frac{10-c}{2} \cdot \sqrt{20c-100}=\frac{10-c}{2} \cdot 2\sqrt{5c-25} =(10-c)\cdot \sqrt{5c-25} \)
I teraz liczymy pochodną iloczynu:
\(P'(c)=-\sqrt{5c-25}+(10-c) \frac{5}{2 \sqrt{5c-25} }= \frac{-2(5c-25)+50-5c}{2 \sqrt{5c-25}} = \frac{-15c+100}{2 \sqrt{5c-25}} \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rachunek różniczkowy - trójkąt prostokątny

Post autor: Jerry »

radagast pisze: 30 kwie 2022, 20:35 \(P(c)=\ldots=(10-c)\cdot \sqrt{5c-25} \)
Dla \(c\in(5;10)\) mamy
\(P(c)=\sqrt{(10-c)^2\cdot (5c-25)}=\sqrt{{5\over2}}\cdot\sqrt{(10-c)^2\cdot (2c-10)}\)
kariosfox pisze: 30 kwie 2022, 19:51 ... nie wiem jak mam wyznaczyć pochodną nie znając wzorów na pochodną wielomianu.
To bez pochodnej, z nierówności pomiędzy średnimi:
\(\bigwedge\limits_{c\in(5;10)}\sqrt[3]{(10-c)^2\cdot (2c-10)}\le\frac{2\cdot(10-c)+(2c-10)}{3}\\
\qquad\qquad(10-c)^2\cdot (2c-10)\le\left({10\over3}\right)^3\)
i równość zachodzi dla \( 10-c=2c-10\iff c={20\over3}\)
Zatem
\(P(c)=\sqrt{{5\over2}}\cdot\sqrt{(10-c)^2\cdot (2c-10)}\le\sqrt{{5\over2}}\cdot\sqrt{\left({10\over3}\right)^3} =\frac{50\sqrt3}{9}\).
Ostatecznie
\(P_\max=P({20\over3})=\frac{50\sqrt3}{9}\)

Pozdrawiam
kariosfox
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 20 kwie 2022, 22:00
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Rachunek różniczkowy - trójkąt prostokątny

Post autor: kariosfox »

Nie wiem, czy by mi taką odpowiedź uznali na maturze. i przy okazji, skąd pierwiastek trzeciego stopnia przy warunku?
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2022, 22:40 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, usunąłem koszmarny w formacie cytat
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3460
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Rachunek różniczkowy - trójkąt prostokątny

Post autor: Jerry »

kariosfox pisze: 30 kwie 2022, 22:19 Nie wiem, czy by mi taką odpowiedź uznali na maturze.
Jako egzaminator napiszę: Uznali by!
kariosfox pisze: 30 kwie 2022, 22:19 skąd pierwiastek trzeciego stopnia przy warunku?
Nierówność Cauchy'ego o średnich:
\[\bigwedge\limits_{a,b,c\in\rr_+}\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\ \text{ i równość zachodzi dla } a=b=c\]
Pozdrawiam
PS. Cytuj uważniej!
ODPOWIEDZ