postać iloczynowa licznika i mianownika -wartości całkowite

[viGor027]

Cześć, jaki jest sposób działania, gdy mamy wyrażenie ze zmienną x w postaci iloczynowej zarówno w liczniku jak i w mianowniku, a polecenie brzmi: dla jakich wartości x wyrażenie przyjmuje wartość całkowitą. Na przykład coś takiego( nie wiem czy będzie się dało łatwo określić bo wymyślam na poczekaniu):

\( \frac{(x-2)(x+3)(x-4)}{(x+1)(x+2)} \)

[Icanseepeace]

Musisz podać dokładną treść zadania.
Czy x może być liczbą rzeczywistą czy całkowitą?
Zazwyczaj tego typu zadania polegają na sprowadzeniu twojego ułamka do postaci:
\( W = liczba \ całkowita \ zależna \ od \ zmiennej + \frac{stała \ liczba \ całkowita}{liczba \ całkowita \ zależna \ od \ zmiennej} \)
Wtedy patrząc na dzielniki licznika można określić kiedy \( W \) będzie całkowite.

[Jerry]

Primo: Postać iloczynowa jest tu bez istotnego znaczenia!
Sekundo: Jeżeli pytasz o to, dla jakich całkowitych wartości zmiennej \(x\) różnej od \(-2\) i \(-1\) całkowite wartości przyjmuje funkcja \(f(x)= \frac{(x-2)(x+3)(x-4)}{(x+1)(x+2)}=x-6+\frac{6x+36}{x^2+3x+2}\), to warunkiem koniecznym jest
\[6x+36=0\ \vee \left|\frac{6x+36}{x^2+3x+2}\right|\ge1\\
x=-6\ \vee (x^2-3x-34)(x^2+9x+38)\le0\\
x=-6\ \vee x\in\{-4,-3,0,1,2,3,4,5,6,7\}\]
Pozostawię Ci sprawdzenie, dla których potencjalnych \(x\)-ów wartości \(f(x)\) są całkowite

Pozdrawiam
PS.

...nie wiem czy będzie się dało łatwo określić bo wymyślam na poczekaniu...

To miałaś szczęście, niewiele ich do sprawdzenia

[viGor027]

Primo: Postać iloczynowa jest tu bez istotnego znaczenia!
Sekundo: Jeżeli pytasz o to, dla jakich całkowitych wartości zmiennej \(x\) różnej od \(-2\) i \(-1\) całkowite wartości przyjmuje funkcja \(f(x)= \frac{(x-2)(x+3)(x-4)}{(x+1)(x+2)}=x-6+\frac{6x+36}{x^2+3x+2}\), to warunkiem koniecznym jest
\[6x+36=0\ \vee \left|\frac{6x+36}{x^2+3x+2}\right|\ge1\\
x=-6\ \vee (x^2-3x-34)(x^2+9x+38)\le0\\
x=-6\ \vee x\in\{-4,-3,0,1,2,3,4,5,6,7\}\]
Pozostawię Ci sprawdzenie, dla których potencjalnych \(x\)-ów wartości \(f(x)\) są całkowite

Pozdrawiam
PS.

...nie wiem czy będzie się dało łatwo określić bo wymyślam na poczekaniu...

To miałaś szczęście, niewiele ich do sprawdzenia

Czy mógłbyś opisać tok rozumowania? Skąd takie warunki, bo nie mogę sobie jakoś tego wyobrazić czemu akurat tak.

Oraz w jaki sposób zostało zamieniona postać iloczynowa, na tą gdzie część wyrażenia z x'em jest poza ułamkiem.

[Jerry]

Czy mógłbyś opisać tok rozumowania? Skąd takie warunki, bo nie mogę sobie jakoś tego wyobrazić czemu akurat tak.

Ułamek \({l\over m}\) ma szansę bycia liczbą całkowitą jeśli

• \(l=0\), wtedy cały ułamek jest \(0\in\zz\)
• \(\left|{l\over m}\right|\ge1\), bo w przedziale \((0;1)\) ne ma żadnej liczby całkowitej

stąd postawione i rozwiązane warunki!

...w jaki sposób zostało zamieniona postać iloczynowa, ...

Funkcja, w wersji ogólnej, jest stopnia pierwszego i dla bardzo wielu \(x\)-ów spełnia warunek \(\left|{l\over m}\right|\ge1\)! Dlatego przekształciłem dany ułamek w postać "liczby mieszanej" (czyli tak, jak \({25\over7}=3+{4\over7}\)):
\(f(x)= \frac{(x-2)(x+3)(x-4)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x^3-3x^2-10x+24}{x^2+3x+2}=\frac{x^3+3x^2+2x-6x^2-18x-12+6x+36}{x^2+3x+2}=\\ \quad=\frac{x(x^2+3x+2)-6(x^2+3x+2)+6x+36}{x^2+3x+2}=\underbrace{x-6}_{\in\zz}+\frac{6x+36}{x^2+3x+2}\)
czyli wymnożyłem licznik, mianownik i podzieliłem "pisemnie" licznik przez mianownik z resztą

Pozdrawiam

[viGor027]

mam jeszcze jedno pytanko do tego, już sobie ogarnąłem kilka przykładów, i teraz już umiem przekształcać do wyżej wspomnianej postaci, ale pozostaje mi kwestia rozwiązania warunku nierówności - czy zawsze będzie to nierówność, którą będzie się dało rozwiązać licealnymi sposobami? tzn. w jednym przykładzie spróbowałem postawić warunki od razu, bez przekształcania funkcji i dostałem wielomian, którego nijak nie mogłem rozłożyć - czy to przez to, że nie przekształciłem czy po prostu czasem tak się może zdarzyć ?

[Jerry]

... czy zawsze będzie to nierówność, którą będzie się dało rozwiązać licealnymi sposobami? ...

Niekoniecznie!

...w jednym przykładzie spróbowałem postawić warunki od razu, bez przekształcania funkcji i dostałem wielomian, którego nijak nie mogłem rozłożyć - czy to przez to, że nie przekształciłem czy po prostu czasem tak się może zdarzyć ?

Warunki, o których pisałem, stosujemy dla ułamków algebraicznych stopnia ujemnego (tzn. stopień wielomianu licznika jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika).
W przypadku zadań "nieoryginalnych" albo "konkursowych" kłopoty algebraiczne są bardzo prawdopodobne!

Pozdrawiam

PS. Może natomiast, licealnie, być dużo prościej. Np. dla funkcji:
\(y=f(x)=\frac{x^3+4x^2+5x+1}{x^2+4x+5}=x+\frac{1}{x^2+4x+5}\wedge x\in\rr\).
Jeśli dla całkowitego argumentu wartość \(f\) ma być całkowita, to
\(x^2+4x+5=-1\vee x^2+4x+5=1\)
I mamy jedną odpowiedź: \(f(-2)=-1\)
O takiej sytuacji pisał Icanseepeace