Rozwiąż równanie

[LuckyLuck]

Prośba o sprawdzenie czy dobrze to policzyłem rozwiąż równanie \(\cos \frac{x}{2} + \cos x-3=0\)
Podstawiłem wzór \(\sqrt{ \frac{1+ \cos x}{2} } + \cos x-3=0\) po podniesieniu do potęgi wyszło mi
\(2 \cos^2 x-13 \cos x+17=0 \)za \(\cos x=t\) i z delty wyliczylem że \(t= \frac{13- \sqrt{33} }{6} \) oraz \(t= \frac{13+ \sqrt{33} }{6}\) ale nie wiem ile x będzie wynosil i czy dobrze to t jest.

[Jerry]

Mnie się nie podoba... \(\sqrt{ \frac{1+ \cos x}{2} }=\color{red}{|}\cos {x\over2}\color{red}{|}\)
Ja bym zaczął w drugą stronę:
\(\cos{x\over2}+2\cos^2{x\over2}-1-3=0\)
i zmienna pomocnicza \(\cos{x\over2}=t\in[-1;1]\) prowadzi do
\(2t^2+t-4=0\)
też się liczy po przybliżeniach...

Pozdrawiam

[LuckyLuck]

No Oki to tym sposobem wyliczę t, ale jak zapisać x? Jak cosx to będą takie ułamki brzydkie?

[Jerry]

\(2t^2+t-4=0\)

\(\Delta=33\\
(t=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\vee\frac{-1+\sqrt{33}}{4} )\wedge t\in[-1;1]\So t\in\emptyset\So x\in\emptyset\)

Pozdrawiam

[LuckyLuck]

A ok juz widzę dzięki

[Jerry]

Jak cosx to będą takie ułamki brzydkie?

Gdyby
\(\cos{x\over2}={1\over3}\)
to, wykorzystując funkcje cyklometryczne,
\((x=2\arccos{1\over3}+k\cdot2\pi\vee x=-2\arccos{1\over3}+k\cdot2\pi )\wedge k\in\zz\)
co można, czytając z tablic, podać w przybliżeniu...

Pozdrawiam

[Jerry]

... \(\cos \frac{x}{2} + \cos x-3=0\)...

Narzuciłeś mi schemat myślowy... Popatrzyłem jeszcze raz i zobaczyłem:
Ponieważ
\(\forall_{x\in\rr}\begin{cases}\cos{x\over2}\le1\\ \cos x\le1\end{cases}\So \forall_{x\in\rr}\cos{x\over2}+ \cos x\le2\)
to
\(\cos{x\over2}+ \cos x=3\iff x\in\emptyset\)

Pozdrawiam