Uzasadnij ze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Uzasadnij ze
Uzasadnij ze dla n naturalnego liczba \( \frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15}\) jest liczbą naturalna
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Uzasadnij ze
\( \frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15} = \frac{3n^5 + 5n^3 - 8n}{15} + n \)
Dlatego wystarczy pokazać, że \( 15 | (3n^5 + 5n^3 - 8n) \).
Istotnie mamy:
\( W = 3n^5 + 5n^3 - 8n = 3(n^5 - n) + 5(n^3 - n) \)
będzie liczbą podzielną przez 15 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 15(wystarczy powołać się na małe twierdzenie fermata). Uzasadnienie dlaczego obie są podzielne przez 15 zostawiam zainteresowanemu (na poziomie liceum jest to standardowa regułka).
Ominąć \( MTF \) można tożsamością:
\( W = 3n^5 + 5n^3 - 8n = 3(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 20(n-1)n(n+1) \)
Dlatego wystarczy pokazać, że \( 15 | (3n^5 + 5n^3 - 8n) \).
Istotnie mamy:
\( W = 3n^5 + 5n^3 - 8n = 3(n^5 - n) + 5(n^3 - n) \)
będzie liczbą podzielną przez 15 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 15(wystarczy powołać się na małe twierdzenie fermata). Uzasadnienie dlaczego obie są podzielne przez 15 zostawiam zainteresowanemu (na poziomie liceum jest to standardowa regułka).
Ominąć \( MTF \) można tożsamością:
\( W = 3n^5 + 5n^3 - 8n = 3(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 20(n-1)n(n+1) \)