Uzasadnij, że dla n wartość ułamka nie jest liczbą całkowitą

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Uzasadnij, że dla n wartość ułamka nie jest liczbą całkowitą

Post autor: peresbmw »

Uzasadnij, że dla \(n \in N\) wartość ułamka \(\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}\) nie jest liczbą całkowitą
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Uzasadnij, że dla n wartość ułamka nie jest liczbą całkowitą

Post autor: eresh »

peresbmw pisze: 23 sty 2022, 18:51 Uzasadnij, że dla \(n \in N\) wartość ułamka \(\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}\) nie jest liczbą całkowitą
\(\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}=\frac{n(n+3)}{n(n+3)(n+5)}=\frac{1}{n+5}\notin\mathbb{N}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Uzasadnij, że dla n wartość ułamka nie jest liczbą całkowitą

Post autor: Jerry »

Albo, dla osób nie ogarniających faktoryzacji, można zauważyć: ciąg \(a_n=\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}\) jest taki, że
  • \(a_1={1\over6}\)
  • \((a_n)\) jest malejący, bo \(\forall_{n\in\nn_+}a_{n+1}-a_n=-{n^4+8n^3+19n^2+12n\over n^6+19n^5+137n^4+461n^3+702n^2+360n}<0\)
  • \(\Limn a_n=0\)
Zatem \[\forall_{n\in\nn_+}0< a_n\le{1\over6}\]
Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia :wink:
ODPOWIEDZ