Niech \( G \) i \( H \) będą grupami oraz \( f : G \rightarrow H \) homomorfizmem.
Pokaż, że nie każda podgrupa \( U \subseteq G \) spełnia : \( gUg^{-1} = U, \forall g \in G \)
Kompletnie nie wiem jak to zrobić. Ma ktoś jakiś pomysł. Teoretycznie znam definicje, ale nie umiem zbytnio ich tu zastosować.
Homomorfizm, podgrupa, dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Homomorfizm, podgrupa, dowód
A na co tutaj homomorfizm? W sformułowaniu zadania nie gra on żadnej roli!
W zadaniu chodzi więc o pokazanie grupy (siłą rzeczy nieprzemiennej), w której istotnie ten warunek nie zachodzi dla każdej podgrupy. Więc musisz wskazać konkretną grupę \(G\) i konkretną jej podgrupę \(U\).
W grupie \(S_3\) permutacji zbioru \(\{1,2,3\}\) istnieje taka podgrupa (oznacza to, że nie jest to podgrupa normalna). Zrób tabelkę działań w tej grupie i wskaż odpowiednią podgrupę. Po prostu oznacz odpowiednie permutacje literami \(e\) - najlepiej identyczność i np. \(p,q,r,s,t\) i zrób tabelkę działań. To nie jest trudne. Potem wyznacz podgrupy właściwe. Są albo dwuelementowe, albo trzyelementowe, więc są generowane przez jeden element. I potem sprawdzaj ten warunek.
To też do niczego. Akurat w grupie przemiennej każda podgrupa spełnia ten warunek.Pokaż, że nie każda podgrupa \(U\subseteq G\) spełnia : \(gUg^{-1}=U\), \(\forall g\in G\)
W zadaniu chodzi więc o pokazanie grupy (siłą rzeczy nieprzemiennej), w której istotnie ten warunek nie zachodzi dla każdej podgrupy. Więc musisz wskazać konkretną grupę \(G\) i konkretną jej podgrupę \(U\).
W grupie \(S_3\) permutacji zbioru \(\{1,2,3\}\) istnieje taka podgrupa (oznacza to, że nie jest to podgrupa normalna). Zrób tabelkę działań w tej grupie i wskaż odpowiednią podgrupę. Po prostu oznacz odpowiednie permutacje literami \(e\) - najlepiej identyczność i np. \(p,q,r,s,t\) i zrób tabelkę działań. To nie jest trudne. Potem wyznacz podgrupy właściwe. Są albo dwuelementowe, albo trzyelementowe, więc są generowane przez jeden element. I potem sprawdzaj ten warunek.