Grupa, injektywność, surjektywność

[crookie]

Podana jest grupa \( G, \circ ) \) z elementem neutralnym \( e \) oraz przynajmniej dwoma elementami \( g, h\). Niech \( g \in G, g \ne e \). Udowodnij albo zaprzecz, że podana funkcja:

\( \lambda_{g} : \) \( \begin{cases}
G \rightarrow G\\
h \mapsto g \circ h
\end{cases} \)

jest
(a) iniekcją
(b) suriekcją
(c) homomorfizmen

Zadania tego typu z normalnymi funkcjami nie sprawiały mi aż tak dużego problemu.Tutaj kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Jakoś nie umiem zastosować tutaj definicji grupy, elementu neutralnego i powiązać tego z iniekcją, suriekcją. Z definicją homomorfizmu też jestem zaznajomiony, ale w postaci funkcji powyższej funkcji nie wiem jak ją zastosować. Za wszystkie wskazówki i przykładowe odpowiedzi będę bardzo wdzięczny.

[grdv10]

Mamy \(\lambda_g(h)=gh\) (pomijam symbol działania).

\(\lambda_g(h_1h_2)=g(h_1h_2)\), zaś \(\lambda_g(h_1)\lambda_g(h_2)=gh_1gh_2\), więc na ogół to nie będzie homomorfizm. Nawet w grupie przemiennej. Musielibyśmy mieć wtedy równość \(gg=g\), co zachodzi np. dla \(g=e\). Więc nie w każdym przypadku będzie to homomorfizm. Np. w grupie \((\rr,\cdot,1)\) niech \(g=2\) i \(\lambda_2(x)=2x\) nie jest homomorfizmem.

\(\lambda_g(h_1)=\lambda_g(h_2)\iff gh_1=gh_2\) i po pomnożeniu z lewej przez \(g^{-1}\) mamy \(h_1=h_2,\) więc jest to injekcja.

Surjektywność sprawdź sam.

[crookie]

Bardzo dziękuję za odpowiedź, nie do końca rozumiałem to w jaki sposób funkcja została określona, ale teraz wszystko stało się dla mnie jaśniejsze.

Mam jeszcze dwa pytania;

1)"po pomnożeniu z lewej przez \( g^{-1} \)" chodzi o pomnożenie obustronne? (wtedy mamy \(gh_{1}g^{-1} = gh_{2}g^{-1} \) czyli \(h_{1} = h_{2}) \), wolę się upewnić)

2)mam też teraz problem z surjektywnością, znam definicję, nie wiem jak to tu udowodnić, ale jeżeli ta funkcja ma przynajmniej dwa elementy, czyli \( g \) oraz \(e \) to do każdego \( gh \) znajdziemy \( h (g \) albo \( e ) \), można to jakoś bardziej formalnie udowodnić?

[grdv10]

1. Czytaj dokładnie co napisałem. Kazałem mnożyć z lewej strony, a Ty mnożysz z prawej. Strona ma znaczenie, bo nie każda grupa jest przemienna.

2. Dla ustalonego \(y\in G\) masz wskazać takie \(x\in G\), że \(y=\lambda_g(x)\), czyli \(y=gx\). Wylicz z tego równania \(x\) przez odpowiednie mnożenie przez \(g^{-1}.\)