Dowodzenie z zastosowaniem średnich.

[Januszgolenia]

Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są dodatnie, to \( \frac{1}{ \sqrt{ab} }+ \frac{1}{ \sqrt{ac} }+ \frac{1}{ \sqrt{bc} } \ge 2( \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c})\).

[Icanseepeace]

Z nierówności między średnią geometryczną i harmoniczną mamy:
\( \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2}{\frac{a + b}{ab}} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \So \frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}}\)
W analogiczny sposób dostajemy:
\( \frac{2}{b+c} \leq \frac{1}{\sqrt{bc}} \wedge \frac{2}{a+c} \leq \frac{1}{\sqrt{ac}} \)
Aby dostać tezę wystarczy dodać te trzy nierówności stronami.

[Jerry]

Albo "na piechotę":
\((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\) i równość dla \(a=b\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\quad|\colon (a+b)\sqrt{ab}\\
{1\over\sqrt{ab}}\ge{2\over a+b}\)
i analogicznie, jak Icanseepeace pisał, dalej

Pozdrawiam

[kerajs]

Lub tak:
Skoro \( \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) to \( \frac{2}{a+b} \le \frac{1}{ \sqrt{ab} } \)