parametr

[Pawm32]

wyznacz wszystkie wartości parametru m, \(m \in \rr \), dla których dziedziną funkcji wymiernej \(h(x)= \frac{1}{mx^4+ (m+1)x^2+2m+2} \) jest zbiór liczb rzeczywistych

[Icanseepeace]

Przypadek funkcji kwadratowej (\(m = 0\))
Wystarczy podstawić i sprawdzić czy spełnia warunki zadania, więc zostawiam zainteresowanemu
Przypadek gdy w mianowniku jest wielomian IV stopnia (\( m \neq 0 \))
Chcemy aby wielomian \( mx^4 + (m+1)x^2 + 2m + 2 \) nie miał miejsc zerowych
Podstawienie \( t = x^2 , t \geq 0 \) prowadzi do wielomianu \( mt^2 + (m+1)t + 2m + 2 \)
który nie będzie miał miejsc zerowych gdy:
\( 1) \) Jego wyróżnik będzie ujemny: \( \Delta < 0 \)
\( 2) \) Jego wyróżnik będzie równy zero ale pierwiastek będzie ujemny: \( \Delta = 0 \wedge t_0 < 0 \)
\( 3) \) Jego wyróżnik będzie większy od zera ale oba pierwiastki będą ujemne: \( \Delta > 0 \wedge t_1 + t_2 < 0 \wedge t_1 \cdot t_2 > 0 \)
Reszta to kwestia wykonania żmudnych obliczeń.

[Jerry]

Aby warunki zadania były spełnione, równanie
\(mt^2+ (m+1)t+2m+2=0\),
gdzie \(t=x^2\), nie może mieć nieujemnych rozwiązań! To znaczy:
0) \(m=0\So t+2=0\). Warunki zadania są spełnione!
1) \(m\ne0\)
2) \(\Delta(m)=(m+1)^2-4m(2m+2)=(m+1)(m+1-8m)=-7(m+1)(m-{1\over7})\)
3) \(\Delta(m)<0\vee \begin{cases}\Delta(m)=0\\ t_0<0 \end{cases} \vee \begin{cases}\Delta(m)>0\\ t_1t_2>0\\ t_1+t_2<0\end{cases}\)
gdzie
\(t_0={-m-1\over2m},\ t_1t_2={2m+2\over m},\ t_1+t_2={-m-1\over m}\)
Pozostają rachunki...

Pozdrawiam