Podać rozwiązanie

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Podać rozwiązanie

Post autor: peresbmw »

Podać rozwiązania przewidziane dla wszystkich prawych stron, dalsze obliczenia dokonać tylko dla jednej wybranej
\(y^V+y^{III} = \begin{cases} 12x+3\\ 2 \sin 2x\\ 2 \cos 2x\\ (x+1) \sin x\\ (x+1)e^x \\ (x+1) + \sin x\\ (x+1) +e^x\\ 2 \end{cases} \)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: kerajs »

\(r^3(r^2+1)=0\\
y_o=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4 \sin x+C_5\cos x\)

Przewidywana postać nie może dublować fragmentów całki ogólnej
Np dla fragmentu niejednorodnego \(12x+3\) przewidywanie to: \(x^4(Ax+B)\)

Wypisz pozostałe przewidywane całki szczególne, a zweryfikuję ich poprawność.

PS
Najłatwiejszym przykładem do pełnego rozwiązania jest, moim zdaniem, ostatnia funkcja.
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: peresbmw »

Niestety nie rozumiem jak to przewidywac, dlaczego jest \(x^4\)?
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: kerajs »

Ups, mój błąd. Miało być:
dla fragmentu niejednorodnego \(12x+3\) przewidywanie to: \(x^3(Ax+B)\)

Ponadto:
- dla fragmentu niejednorodnego \(2 \sin 2x\) przewidywanie to: \(A \sin 2x+B\cos 2x \)

- dla fragmentu niejednorodnego \(2 \cos 2x\) przewidywanie to: \(A \sin 2x+B\cos 2x \)

- dla fragmentu niejednorodnego \((x+1) \sin x\) przewidywanie to: \(x(A \sin x+B\cos x)+x^2(C\sin x+D\cos x) \)

- dla fragmentu niejednorodnego \((x+1)e^x\) przewidywanie to: \((Ax+B)e^x \)

- dla fragmentu niejednorodnego \((x+1) +\sin x\) przewidywanie to: \(x^3(Ax+B)+x(C\sin x+D\cos x) \)

- dla fragmentu niejednorodnego \((x+1)+e^x\) przewidywanie to: \(x^3(Ax+B)+Ce^x \)

- dla fragmentu niejednorodnego \(2\) przewidywanie to: \(Ax^3 \)


\(y^V+y^{III} = 2\\
y_o=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4\sin x+C_5\cos x \\
y_p=Ax^3 \ \ y_p'=3Ax^2 \ \ y_p''=6Ax \ \ y_p'''=A \ \ y_p^{IV}=0 \ \ y_p^V=0 \\
0+6A=2 \ \ \So \ \ A= \frac{1}{3} \\
y=y_o+y_p\\
y=C_1+C_2x+C_3x^2+C_4\sin x+C_5\cos x + \frac{x^3}{3} \)
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: peresbmw »

Dzięki wielkie a możesz mi sprawdzić ten przykład?
\(y^{IV} -16y = \begin{cases} 4x^3-8\\ x \cos x\\ 2 xe^{-2x}\\ 2 x-e^{-2x}\\ (x^2 +1)e^{2 x} \\ (x^2 +1) + e^{2 x} \\ x \sin 2x\\ x- \sin 2x \end{cases} \)
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: peresbmw »

1) \(Ax^3 +Bx^2 +Cx+D\)
2) \(Ax \sin x+Bx \cos x\)
3)\((Ax+B)e^{-2x}\)
4)
5)\((Ax^2 +Bx+C) e^{2 x}\)
6)\(x^3 (Ax^2 +Bx+C)+De^{2 x}\)
7)\(Ax \sin 2x+Bx \cos 2x\)
8 )
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: kerajs »

Zapominasz, że na przewidywanie ma wpływ rozwiązanie równania niejednorodnego.
Tu jest nim:
\(y_o=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}+C_3\sin 2x+C_4 \cos 2x\)
więc w przykładach w których we fragmencie niejednorodnym występuje \(e^{2x} \ \ lub \ \ e^{-2x} \ \ lub \ \ \sin 2x \ \ lub \ \ cos 2x\) ( czyli w przykładach 3-8) należy przewidywanie ''wzmocnić'' przez domnożenie odpowiedniej potęgi x.
1) OK
2) brakuje: \(C\sin x+D\sin x\)
peresbmw
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 274
Rejestracja: 28 paź 2018, 18:20
Podziękowania: 80 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: peresbmw »

1) \(Ax^3 +Bx^2 +Cx+D\)
2) \(Ax \sin x+Bx \cos x+C \sin x+D \cos x\)
3)\(x(Ax+B)e^{-2x}\)
4)
5)\(x^2 (Ax^2 +Bx+C) e^{2 x}\)
6)\(x^3 (Ax^2 +Bx+C)+De^{2 x}\)
7)\(x(Ax \sin 2x+Bx \cos 2x) \)
8 )
Tak będzie? 4 i 8 wogole nie wiem jak powinno być
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Podać rozwiązanie

Post autor: kerajs »

1) \(Ax^3 +Bx^2 +Cx+D\)
2) \(Ax \sin x+Bx \cos x+C \sin x+D \cos x\)
3) \(x(Ax+B)e^{-2x}\)
4) \(Ax+B+xCe^{-2x}\)
5) \(x(Ax^2 +Bx+C) e^{2 x}\)
6) \(Ax^2 +Bx+C+xDe^{2 x}\)
7) \(x(Ax \sin 2x+Bx \cos 2x+C \sin 2x+D \cos 2x) \)
8 ) \(Ax+B +x(C \sin 2x+D \cos 2x) \)
ODPOWIEDZ