Najmniejsza wartość funkcji.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Januszgolenia
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Najmniejsza wartość funkcji.
Dla jakiej liczby x funkcja \(L(x)= \sqrt{x^2+ \frac{9x^2}{x^2-4x+4} } \) dla x \( \in (2,+ \infty )\) przyjmuje wartość najmniejszą.
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Najmniejsza wartość funkcji.
Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą to najmniejsza wartość funkcji \(L\) będzie przyjęta dla takiego samego x jak dla funkcji \( f(x) = x^2 + \frac{9x^2}{(x-2)^2} \). Dokonujemy podstawienia \( x = t + 2 \). Wtedy ze względu na założenie
\( x > 2 \) dostajemy również założenie dla t: \( t > 0 \). Po podstawieniu (i prostych przekształceniach) mamy:
\( g(t) = t^2 + 4t + 13 + \frac{36}{t} + \frac{36}{t^2} \). Liczymy pochodną:
\( g'(t) = 2t + 4 - \frac{36}{t^2} - \frac{72}{t^3} = \frac{2}{t^3}[t^3(t+2) - 18(t+2)] = \frac{2(t+2)(t^3 - 18)}{t^3} \)
Skąd po rozwiązaniu równania \( g'(t) = 0 \) w dziedzinie \( t > 0 \) dostajemy \( t = \sqrt[3]{18} \) i w konsekwencji szukany \( x = 2 + \sqrt[3]{18} \).
Pozostaje sprawdzić czy w danym punktem faktycznie znajduje się minimum a nie np. maksimum.
\( x > 2 \) dostajemy również założenie dla t: \( t > 0 \). Po podstawieniu (i prostych przekształceniach) mamy:
\( g(t) = t^2 + 4t + 13 + \frac{36}{t} + \frac{36}{t^2} \). Liczymy pochodną:
\( g'(t) = 2t + 4 - \frac{36}{t^2} - \frac{72}{t^3} = \frac{2}{t^3}[t^3(t+2) - 18(t+2)] = \frac{2(t+2)(t^3 - 18)}{t^3} \)
Skąd po rozwiązaniu równania \( g'(t) = 0 \) w dziedzinie \( t > 0 \) dostajemy \( t = \sqrt[3]{18} \) i w konsekwencji szukany \( x = 2 + \sqrt[3]{18} \).
Pozostaje sprawdzić czy w danym punktem faktycznie znajduje się minimum a nie np. maksimum.