Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przemo356
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 09 maja 2021, 20:21

Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona

Post autor: Przemo356 »

Hej. Czy ktoś umiałby udowodnić ten wzór kombinatorycznie i wytłumaczyć mniej więcej jak to zrobił ? To w nawiasach to symbol Newtona
\[ \sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} = {n+r+1\choose r} \]
Ostatnio zmieniony 09 maja 2021, 21:13 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; {n \choose k}
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona

Post autor: kerajs »

\(P={n+r+1\choose r} ={n+r\choose r-1} +{n+r\choose r} ={n+r-1\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+r-2\choose r-3}+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=...=\\
={n+2\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\
1+{n\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\=
1+\sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} \neq L\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona

Post autor: panb »

kerajs pisze: 09 maja 2021, 21:49 \(P={n+r+1\choose r} ={n+r\choose r-1} +{n+r\choose r} ={n+r-1\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+r-2\choose r-3}+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=...=\\
={n+2\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\
1+{n\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\=
1+\sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} \neq L\)
\({n+1\choose 0}\neq 1+{n\choose0}\\
{n+1\choose 0} = {n\choose0}\)

Tym sposobem wzór jest udowodniony.
ODPOWIEDZ