Hej. Czy ktoś umiałby udowodnić ten wzór kombinatorycznie i wytłumaczyć mniej więcej jak to zrobił ? To w nawiasach to symbol Newtona
\[ \sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} = {n+r+1\choose r} \]
Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona
Ostatnio zmieniony 09 maja 2021, 21:13 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; {n \choose k}
Powód: poprawa wiadomości; {n \choose k}
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona
\(P={n+r+1\choose r} ={n+r\choose r-1} +{n+r\choose r} ={n+r-1\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+r-2\choose r-3}+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=...=\\
={n+2\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\
1+{n\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\=
1+\sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} \neq L\)
={n+2\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\
1+{n\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\=
1+\sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} \neq L\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Dowód kombinatoryczny z symbolem Newtona
\({n+1\choose 0}\neq 1+{n\choose0}\\kerajs pisze: ↑09 maja 2021, 21:49 \(P={n+r+1\choose r} ={n+r\choose r-1} +{n+r\choose r} ={n+r-1\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+r-2\choose r-3}+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=...=\\
={n+2\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\={n+1\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\
1+{n\choose 0}+{n+1\choose 1}+{n+2\choose 2}+...+{n+r-2\choose r-2} +{n+r-1\choose r-1}+{n+r\choose r}=\\=
1+\sum_{k=0}^{r} {n+k\choose k} \neq L\)
{n+1\choose 0} = {n\choose0}\)
Tym sposobem wzór jest udowodniony.