Parametr - trygonometria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Parametr - trygonometria
Dla jakich wartości parametru \(m \in R\) równanie \(\cos(2x)=m^2\cos^2x\) ma rozwiązanie w liczbach rzeczywistych.
Ostatnio zmieniony 30 kwie 2021, 16:08 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; \cos
Powód: poprawa kodu; \cos
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Parametr - trygonometria
\( \cos (2x) = \cos ^2x - \sin^2x = 2 \cos^2x - 1 \)
Równanie zatem można zapisać następująco:
\( 2 \cos^2x - 1 = m^2 \cos ^2x \\ (2 - m^2) \cos ^2x = 1 \)
Dla \( m = \sqrt{2} \vee m = -\sqrt{2} \) równanie jest sprzeczne. Dla pozostałych \( m \) mamy:
\( \cos ^2 x = \frac{1}{2 - m^2} \)
Ponieważ zbiorem wartości funkcji \( f(x) = \cos ^2x \) jest przedział \( [0,1] \) to równanie będzie miało rozwiązanie jeśli:
\( 0 \leq \frac{1}{2 - m^2} \leq 1 \)
Co po rozwiązaniu da:
\( |m| \leq 1 \)
Równanie zatem można zapisać następująco:
\( 2 \cos^2x - 1 = m^2 \cos ^2x \\ (2 - m^2) \cos ^2x = 1 \)
Dla \( m = \sqrt{2} \vee m = -\sqrt{2} \) równanie jest sprzeczne. Dla pozostałych \( m \) mamy:
\( \cos ^2 x = \frac{1}{2 - m^2} \)
Ponieważ zbiorem wartości funkcji \( f(x) = \cos ^2x \) jest przedział \( [0,1] \) to równanie będzie miało rozwiązanie jeśli:
\( 0 \leq \frac{1}{2 - m^2} \leq 1 \)
Co po rozwiązaniu da:
\( |m| \leq 1 \)