3 zadania z ekstremów lokalnych funcji dwóch zmiennych

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Herbert
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:01
Podziękowania: 2 razy
Płeć:

3 zadania z ekstremów lokalnych funcji dwóch zmiennych

Post autor: Herbert »

Mam do wykonania 3 zadania, bardzo proszę o pomoc.
Mam wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Zadanie muszę zrobić do środy.
1) \(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2\)
2) \(f(x,y)=(x+y)^2-(x+5y+xy)\)
3) \(f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5\)
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2021, 15:39 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]
korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 6261
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 83 razy
Otrzymane podziękowania: 1523 razy
Płeć:

Re: 3 zadania z ekstremów lokalnych funcji dwóch zmiennych

Post autor: korki_fizyka »

Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: 3 zadania z ekstremów lokalnych funcji dwóch zmiennych

Post autor: panb »

Herbert pisze: 26 kwie 2021, 14:08 Mam do wykonania 3 zadania, bardzo proszę o pomoc.
Mam wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Zadanie muszę zrobić do środy.

3) \(f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5\)
Tutaj jest teoria z przykładami
Poniżej realizacja dla podpunktu 3).

\(f(x,y)=x^2+y^2+xy-6x-4y+5\\
\begin{cases} \frac{ \partial f }{ \partial x}=2x+y-6=0 \\
\frac{ \partial f}{ \partial y}=2y+x-4 =0\end{cases} \iff \begin{cases}2x+y=6\\x+2y=4 \end{cases} \iff \begin{cases} -3y=-2\\x=4-2y\end{cases} \iff \begin{cases}x= \frac{8}{3} \\y= \frac{2}{3} \end{cases} \)


Puntem, w którym może być ekstremum jest punkt stacjonarny \( \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right) \)
\( \begin{cases}\frac{ \partial ^2f}{ \partial x^2}=2\\ \frac{ \partial ^2f}{ \partial y^2 }=2\\ \frac{ \partial ^2f}{ \partial x \partial y } =\frac{ \partial ^2f}{ \partial y \partial x } =1 \end{cases} \So W \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)=W = \begin{vmatrix}2&1\\1&2 \end{vmatrix} = 3 \)
\(W \left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)>0\), więc w punkcie \(\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)\) jest ekstremum lokalne, a ponieważ \( \frac{\partial ^2f}{ \partial x^2}\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right) =2>0 \), więc jest to minimum.
Żeby się dowiedzieć ile to minimum jest równe, obliczyć trzeba \(f\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right)=- \frac{13}{3} \)

Odpowiedź: Funkcja f osiąga minimum (lokalne) w punkcie \(\left( \frac{8}{3} , \frac{2}{3} \right), \,\, f_{min}(x,y)=- \frac{13}{3} \)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: 3 zadania z ekstremów lokalnych funcji dwóch zmiennych

Post autor: panb »

Myślę, że pozostałe bez problemu zrobisz samodzielnie.
ODPOWIEDZ