Dwa dowody nierówności.

[gr4vity]

1) Wykaż, że dla \(a,b,c \in \nn _+\) spełniona jest nierówność \( \frac{a^2b^2c^2}{(b+c)(b+a)(a+c)} \le abc \)

Pytanko pierwsze: Czy taki dowód jest ok?
\( \frac{abc}{(b+c)(b+a)(a+c) }\le 1 \)
\(abc \le (b^2+ab+bc+ac)(a+c)\)
\(abc \le ab^2+b^2c+a^2b+abc+abc+bc^2+a^2c+ac^2\)
\(0 \le ab^2+b^2c+a^2b+abc+bc^2+a^2c+ac^2\)
Suma dodatnich wyrażeń jest dodatnia, ckd.

Pytanko drugie: Jako podpowiedź do tego zadania mam: zapisz nierówność między średnią geometryczną i harmoniczną dla \(a\) i \(b\) oraz \(a\) i \(c\) oraz \(b\) i \(c\), a następnie wymnóż wyrażenia i doprowadź do tezy.
Czy mógłby ktoś pokazać jak należy to zrobić ze średnich?

2) Wykaż, że jeżeli liczby a,b i c są dodatnie to suma kwadratów
tych liczb jest większa lub równa sumie trzech różnych iloczynów dwóch liczb z podanych.
Pytanko trzecie: czy taki dowód jest poprawny?
\(a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc\)
\(2a^2+2b^2+2c^2 \ge 2ab+2ac+2bc\)
\(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \ge 0\)
\((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0\)
Kwadrat dowolnej rzeczywistej jest nieujemny, suma liczb nieujemnych jest nieujemna.

Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas.

[Jerry]

Pytania 1. i 3. : Wg mnie - OK, chociaż mile widziany byłby komentarz "dana nierówność jest równoważna kolejno... ponieważ ostatnia jest prawdziwa, to teza zadania jest prawdziwa. C.K.D"

Pozdrawiam

[eresh]

1) Wykaż, że dla \(a,b,c \in \nn _+\) spełniona jest nierówność \( \frac{a^2b^2c^2}{(b+c)(b+a)(a+c)} \le abc \)

Pytanko pierwsze: Czy taki dowód jest ok?
\( \frac{abc}{(b+c)(b+a)(a+c) }\le 1 \)
\(abc \le (b^2+ab+bc+ac)(a+c)\)
\(abc \le ab^2+b^2c+a^2b+abc+abc+bc^2+a^2c+ac^2\)
\(0 \le ab^2+b^2c+a^2b+abc+bc^2+a^2c+ac^2\)
Suma dodatnich wyrażeń jest dodatnia, ckd.

Pytanko drugie: Jako podpowiedź do tego zadania mam: zapisz nierówność między średnią geometryczną i harmoniczną dla \(a\) i \(b\) oraz \(a\) i \(c\) oraz \(b\) i \(c\), a następnie wymnóż wyrażenia i doprowadź do tezy.
Czy mógłby ktoś pokazać jak należy to zrobić ze średnich?

a co się stało z wyrażeniem, które było po lewej stronie nierówności?

ze średnich:

\(\sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\
\sqrt{bc}\geq \frac{2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\\
\sqrt{ca}\geq \frac{2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\\
\)

po wymnożeniu stronami:
\(\sqrt{a^2b^2c^2}\geq\frac{8}{\frac{a+b}{ab}\cdot\frac{b+c}{bc}\cdot\frac{a+c}{ac}}\\
abc\geq\frac{8a^2b^2c^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq\frac{a^2b^2c^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}\)

[eresh]

2) Wykaż, że jeżeli liczby a,b i c są dodatnie to suma kwadratów
tych liczb jest większa lub równa sumie trzech różnych iloczynów dwóch liczb z podanych.
Pytanko trzecie: czy taki dowód jest poprawny?
\(a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc\)
\(2a^2+2b^2+2c^2 \ge 2ab+2ac+2bc\)
\(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \ge 0\)
\((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 \ge 0\)
Kwadrat dowolnej rzeczywistej jest nieujemny, suma liczb nieujemnych jest nieujemna.

Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas.

Jak dla mnie - ok.

[gr4vity]

Dziękuję bardzo.
Jeżeli chodzi o to pierwsze przekształcenie to podzieliłem obustronnie przez \(abc\)

[Jerry]

...to podzieliłem obustronnie przez \(abc\)

Raczej odjąłeś od obu stron \(abc\) - to o to chyba pytała eresh

Pozdrawiam

[edited] obaj mamy rację...

[eresh]

Dziękuję bardzo.
Jeżeli chodzi o to pierwsze przekształcenie to podzieliłem obustronnie przez \(abc\)

wygląda raczej na odejmowanie
dowód ok (wg mnie)

[Icanseepeace]

Pytania 1. i 3. : Wg mnie - OK, chociaż mile widziany byłby komentarz "dana nierówność jest równoważna kolejno... ponieważ ostatnia jest prawdziwa, to teza zadania jest prawdziwa. C.K.D"

Pytanie czy jest tego świadom i w konsekwencji nie pisze tego komentarza (gdyż mu się nie chce).
Czy też może nie do końca wie co robi.
W pierwszym wypadku -ok
W drugim na maturze może być mały problem.
Kiedyś czytałem kwestionariusze oceniania (chyba tak to się nazywa) i było w nich napisane, że przekształcenie tezy, bez wcześniejszej wzmianki o wykonywaniu przekształceń równoważnych skutkuje odjęciem pewnej ilości punktów.
Widziałem, że w innym temacie wspomniałeś coś o certyfikacie egzaminatora maturalnego, więc powinieneś wiedzieć.
Ucinają te punkty za to czy nie?

[gr4vity]

Tutaj przyznam zrobiłem to z lenistwa, zawsze przy każdym przekształceniu piszę znak równoważności oraz zdanie ,,przekształcam równoważnie tezę".
Więc jestem świadom tego , że tutaj to pominąłem

[Jerry]

Widziałem, że w innym temacie wspomniałeś coś o certyfikacie egzaminatora maturalnego, więc powinieneś wiedzieć.
Ucinają te punkty za to czy nie?

Egzaminatora, a nie eksperta, który ustala "schemat oceniania" zadania... Statystycznie raz na cztery zadania "nie kochamy zdającego"

Pozdrawiam