Wielomian z parametrem.

[gr4vity]

Dla jakich wartości parametru ,,p'' wielomian \(W(x)=x^3-4x^2-3x-p\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
Jak rozwiązywać zadania tego typu? Gdzie nie mam możliwości prostego pogrupowania wyrazów i dojścia do postaci kwadratowej.

[Jerry]

Pochodna nie będzie sparametryzowana... Wyznacz ekstrema i ich iloczyn powinien być ujemny (wniosek z wykresy)

Pozdrawiam

[edited]

Albo
\(W(x)=0\iff x^3-4x^2-3x=p\)
Narysuj, wykorzystując pochodną, wykres
\(y_L=f(x)=x^3-4x^2-3x\)
i "winda"

[gr4vity]

\(x^3-4x^2-3x=p\)
Czyli szkicuję wykres funkcji po lewej stronie i sprawdzam dla jakiego parametru ,,\(p\)'' prosta \(y=p\) przetnie mi ten wykres w trzech punktach ?
Czy nie ominę w ten sposób parametrów dla których wielomian \(W(x)\) miałby pierwiastek rzeczywisty podwójny?

[Jerry]

Czyli szkicuję wykres funkcji po lewej stronie i sprawdzam dla jakiego parametru ,,p'' prosta y=p przetnie mi ten wykres w trzech punktach ?

Tak

... miałby pierwiastek rzeczywisty podwójny?

W tym zadaniu jest możliwość dwóch pierwiastków, z czego jeden jest podwójny - jest ich jednak dwa!

Pozdrawiam

[gr4vity]

Tak, natomiast mam równanie:
\(x^3-4x^2-3x=p\)
Z wykresu widać, że dla \(p=-18\) mamy dwa punkty wspólne. Zatem w teorii powinienem odrzucić tą wartość.
Natomiast jeżeli do funkcji \(W(x)=x^3-4x^2-3x-p\) podstawie pod \(p\) wartość \(-18\)
To okażę się, że wtedy mamy dwa różne pierwiastki, ale dwa równe, zatem wszystkie ,,3'' pierwiastki są rzeczywiste, zatem powinienem odrzucić to rozwiązanie czy nie?

[Jerry]

Ja, Jerry i Ty to trzy osoby? Wg mnie - dwie!

Pozdrawiam
PS. Wg schematu odpowiedzią jest \(p\in\left(-18;\ {14\over27}\right)\)

[gr4vity]

No okej, ale jak to się ma do tego, że każdy wielomian trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki. Idąc tym tokiem rozumowania, skoro dla parametru \(p=-18\) mamy dwa pierwiastki to trzeci jest nierzeczywisty?
Wiem, że za dużo wybrzydzam i kombinuje , ale nie za bardzo czuje te granice.
Chyba, że pierwiastek podwójny mam uznawać jako jeden pierwiastek, który zajmuje miejsce dwóch pierwiastków, może tak mam nastawić sobie głowę, żeby nie wplątywać się w niepotrzebne kombinowanie?

[Jerry]

... każdy wielomian trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki...

Zgoda, zespolone, liczone z dokładnością do krotności!
Na poziome maturalnym: \((x_1=1\vee x_2=2\vee x_3=2)\So x\in\{1,\ 2\}\) oznacza dwa rozwiązania

Pozdrawiam

[eresh]

No okej, ale jak to się ma do tego, że każdy wielomian trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki.

Nie jest to prawda. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n różnych pierwiastków

[Jerry]

Nie jest to prawda.

Przypomniałaś mi Panią z lekcji matematyki w młodszej klasie, która przekonywała mnie, że nie da się policzyć \(5-7\)... Wolałbym, żeby powiedziała "w tej klasie jeszcze nie umiemy"

Bez urazy, pozdrawiam serdecznie

[gr4vity]

Nie jest to prawda. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n różnych pierwiastków

Nie napisałem, że chodzi o różne, dodatkowo wybiegłem trochę dalej do Zasadniczego tw. algebry.

Na poziome maturalnym: \((x_1=1\vee x_2=2\vee x_3=2)\So x\in\{1,\ 2\}\) oznacza dwa rozwiązania
Pozdrawiam

Okej super! Tego właśnie potrzebowałem
Pozwolę sobie odbiec trochę od tematu, skąd w takim razie taka "głupia" konwencja przyjęta chociażby w podręcznikach Kurczaba, że dla wyróżnika równego zero mamy dwa równe pierwiastki? W każdym zadaniu z funkcji kwadratowej gdzie jest użyte słowo dwa pierwiastki bez dołożonego słowa różne kryteria wymagają od nas aby dopuścić wyróżnik równy zero.
Jest to dla mnie konwencja głupia bo po prostu namieszała mi strasznie w głowie i ciężko mi opisać ile czasu zmarnowałem na rozmyślanie dlaczego w książce Pana Kiełbasy, dwa pierwiastki oznaczają wyróżnik większy od zera a dlaczego w książkach Kurczaba oznaczają "dwa równe" lub "dwa różne".
Namieszało mi to również w kwestii ilości rozwiązań, natomiast na szczęście dzięki wam udało mi się rozwikłać ten problem (kiedyś już poruszałem na forum ten mój problem).
Zapytałem się również swojej nauczycielki szkolnej, dlaczego tak jest natomiast usłyszałem skromne : ,,Na maturze zawsze jest słowo różne więc nie marnujmy na to czasu".
Dlatego moje pytanie: Dlaczego każda osoba pochodząca z wyższego pułapu matematycznego odpowiada mi że delta równa zero to zawsze jeden pierwiastek, a mimo to twórca tak popularnej książki stosowanej praktycznie w każdym liceum u których mam znajomych, przyjął odwrotną konwencję?

[Jerry]

,,Na maturze zawsze jest słowo różne więc nie marnujmy na to czasu".

To konwencja reformy 2005, podobnie jak domknięte przedziały monotoniczności... Musieli zamieszać...

Miłego wieczoru