wielomian z parametrem

[cheruille]

Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wielomian \(W(x)= (x^2+x-6) \left[ (k-2)x^2-(k+3)x-4\right] \) ma cztery różne pierwiastki.

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wielomian \(W(x)= (x^2+x-6) \left[ (k-2)x^2-(k+3)x-4\right] \) ma cztery różne pierwiastki.

\(W(x)= (x^2+x-6) \left[ (k-2)x^2-(k+3)x-4\right] \\
W(x)=(x-2)(x+3)((k-2)x^2-(k+3)x-4)\)
\(f(x)=(k-2)x^2-(k+3)x-4\) musi mieć dwa miejsca zerowe, różne od 2 i -3

1.
\(x\neq 2\\
4(k-2)-2(k+3)-4\neq 0\\
4k-8-2k-6-4\neq 0\\
2k\neq -18\\
k\neq 9
\)

2.
\(x\neq -3\\
9(k-2)+3(k+3)-4\neq 0\\
9k-18+3k+9-4\neq 0\\
12k\neq 13\\
k\neq\frac{13}{12}\)

3.
\(k\neq 2\)

4.
\(\Delta>0\\
(k+3)^2-4(k-2)\cdot (-4)>0\\
(k+3)^2+16(k-2)>0\\
k^2+6k+9+16k-32>0\\
k^2+32k-23>0\\
k\in (-\infty, -16-3\sqrt{31})\cup (-16+3\sqrt{31},\infty)\)

Z 1,2,3 i 4
\(k\in (-\infty, -16-3\sqrt{31})\cup (-16+3\sqrt{31},\infty)\setminus\{9,\frac{13}{12},2\}\)

(o ile nie ma błędów rachunkowych)