Dowód nierówności.

[gr4vity]

\(T: log_23 \sqrt{log_32*log_75}+log_57 \sqrt{log_32*log_75}-2 \ge 0 \)
Przekształcam równoważnie tezę:
\( \sqrt{log_23*log_23*log_32*log_75}+ \sqrt{log_57*log_57*log_75*log_32} \ge 2 \)
Skracam wyrażenia pod poszczególnymi pierwiastkami korzystając ze wzoru na zamianę podstaw logarytmu.
\( \sqrt{log_32*log_75}+ \sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
\( \sqrt{ \frac{1}{log_23}* \frac{1}{log_57}} + \sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
\( \frac{1}{ \sqrt{ log_23*log_57}}+\sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
Dowód: Suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest liczbą większą lub równą 2 ckd.

Czy mógłby ktoś zweryfikować poprawność tego dowodu, byłoby mi niezmiernie miło

[eresh]

\(T: log_23 \sqrt{log_32*log_75}+log_57 \sqrt{log_32*log_75}-2 \ge 0 \)
Przekształcam równoważnie tezę:
\( \sqrt{log_23*log_23*log_32*log_75}+ \sqrt{log_57*log_57*log_75*log_32} \ge 2 \)
Skracam wyrażenia pod poszczególnymi pierwiastkami korzystając ze wzoru na zamianę podstaw logarytmu.
\( \sqrt{log_32*log_75}+ \sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
\( \sqrt{ \frac{1}{log_23}* \frac{1}{log_57}} + \sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
\( \frac{1}{ \sqrt{ log_23*log_57}}+\sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
Dowód: Suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest liczbą większą lub równą 2 ckd.

Czy mógłby ktoś zweryfikować poprawność tego dowodu, byłoby mi niezmiernie miło

Jak dla mnie - w porządku

[eresh]

\(T: log_23 \sqrt{log_32*log_75}+log_57 \sqrt{log_32*log_75}-2 \ge 0 \)
Przekształcam równoważnie tezę:
\( \sqrt{log_23*log_23*log_32*log_75}+ \sqrt{log_57*log_57*log_75*log_32} \ge 2 \)
Skracam wyrażenia pod poszczególnymi pierwiastkami korzystając ze wzoru na zamianę podstaw logarytmu.
\( \sqrt{log_32*log_75}+ \sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
\( \sqrt{ \frac{1}{log_23}* \frac{1}{log_57}} + \sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
\( \frac{1}{ \sqrt{ log_23*log_57}}+\sqrt{log_57*log_32} \ge 2 \)
Dowód: Suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest liczbą większą lub równą 2 ckd.

Czy mógłby ktoś zweryfikować poprawność tego dowodu, byłoby mi niezmiernie miło

Masz kilka literówek. Powinno być:
\(
\sqrt{\log_23\cdot \log_23 \cdot \log_32 \cdot \log_75}+ \sqrt{\log_57 \cdot \log_57 \cdot \log_75 \cdot \log_32} \ge 2\\
\sqrt{\log_23\cdot \log_75}+\sqrt{\log_32\cdot \log_57}\geq 2\\
\frac{1}{\sqrt{\log_32\cdot\log_57}}+\sqrt{\log_32\cdot \log_57}\geq 2 \)

[gr4vity]

Faktycznie, dziękuję bardzo !