równanie z parametrem 2

[Pawm32]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, \(m∈R\), dla których równanie \( x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\) ma jedno rozwiązanie

Wogole nie wiem co z tym zrobić, nie widzę jak zrobić z tego iloczyn czynników, a inaczej nie zrobię.

[janusz55]

...dla których równanie \( x^4 + (m+2)x^2+ m^2-4= 0 \ \ (*) \) ma się równać zeru?

Rozwiąż to równanie dwukwadratowe, sprowadzając do równania kwadratowego przez podstawienie:

\( x^2 = y >0 \ \ (**) \)


Znajdź wartości jego pierwiastków spełniających warunek \( (**) \) w zależności od parametru \(m. \)

Podstaw te wartości do równania \( (*).\)

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, \(m∈R\), dla których równanie \( x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\) ma jedno rozwiązanie

Wogole nie wiem co z tym zrobić, nie widzę jak zrobić z tego iloczyn czynników, a inaczej nie zrobię.

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

[Pawm32]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, \(m∈R\), dla których równanie \( x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\) ma jedno rozwiązanie

Wogole nie wiem co z tym zrobić, nie widzę jak zrobić z tego iloczyn czynników, a inaczej nie zrobię.

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

no to w pierwszym chyba łatwo \(2\) i \(-2
\)
ale jak rozwiązać b) to chyba dalej nie zbyt wiem
na pewno \(\Delta >0 \) taka będzie dla \(m \in <-2, \frac{10}{3} > \)ale dalej nic.

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, \(m∈R\), dla których równanie \( x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\) ma jedno rozwiązanie

Wogole nie wiem co z tym zrobić, nie widzę jak zrobić z tego iloczyn czynników, a inaczej nie zrobię.

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

no to w pierwszym chyba łatwo \(2\) i \(-2
\)
ale jak rozwiązać b) to chyba dalej nie zbyt wiem
na pewno \(\Delta >0 \) taka będzie dla \(m \in <-2, \frac{10}{3} > \)ale dalej nic.

z pierwszego wychodzi
\(\Delta=0\;\;\wedge\;\;t_0=0\\
m=-2\)

z drugiego:
\(\Delta>0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2<0\So \frac{-b}{a}<0\\
m=2
\)

[Pawm32]

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

no to w pierwszym chyba łatwo \(2\) i \(-2
\)
ale jak rozwiązać b) to chyba dalej nie zbyt wiem
na pewno \(\Delta >0 \) taka będzie dla \(m \in <-2, \frac{10}{3} > \)ale dalej nic.

z pierwszego wychodzi
\(\Delta=0\;\;\wedge\;\;t_0=0\\
m=-2\)

z drugiego:
\(\Delta>0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2<0\So \frac{-b}{a}<0\\
m=2
\)

dalczego \(t_1+t_2<0\)?? miało być, że jedno zerowe i jedno ujemne??

[Pawm32]

JUZ wiem czemu tak

[Pawm32]

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

no to w pierwszym chyba łatwo \(2\) i \(-2
\)
ale jak rozwiązać b) to chyba dalej nie zbyt wiem
na pewno \(\Delta >0 \) taka będzie dla \(m \in <-2, \frac{10}{3} > \)ale dalej nic.

z pierwszego wychodzi
\(\Delta=0\;\;\wedge\;\;t_0=0\\
m=-2\)

z drugiego:
\(\Delta>0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2<0\So \frac{-b}{a}<0\\
m=2
\)

i jescze jedno dlaczego takie warunki (0 i 0 z ujemną)

[Jerry]

Proponuję:
Wielomian, dla \(x\in\rr\),
\( w(x)=x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\)
jest funkcją parzystą, zatem warunkiem koniecznym posiadania nieparzystej liczby pierwiastków jest
\(w(0)=0\)
Warunek ten spełniają \(m\in\{-2,2\}\)
Pozostaje sprawdzić, czy mamy jeden, czy trzy pierwiastki dla tych konkretnych wartości...

Pozdrawiam

[Pawm32]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, \(m∈R\), dla których równanie \( x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\) ma jedno rozwiązanie

Wogole nie wiem co z tym zrobić, nie widzę jak zrobić z tego iloczyn czynników, a inaczej nie zrobię.

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

A dlaczego akurat dla takich warunków będzie miało jedno rozwiązanie, jak mam znaleźć te warunki bo dalej nie widzę zależności

[Pawm32]

\(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
Aby wyjściowe równanie miało jedno rozwiązanie, równanie kwadratowe z niewiadomą t musi mieć
a) jedno rozwiązanie \(t=0\)
lub
b) dwa rozwiązania - jedno ujemne i drugie zerowe

no to w pierwszym chyba łatwo \(2\) i \(-2
\)
ale jak rozwiązać b) to chyba dalej nie zbyt wiem
na pewno \(\Delta >0 \) taka będzie dla \(m \in <-2, \frac{10}{3} > \)ale dalej nic.

z pierwszego wychodzi
\(\Delta=0\;\;\wedge\;\;t_0=0\\
m=-2\)

z drugiego:
\(\Delta>0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2<0\So \frac{-b}{a}<0\\
m=2
\)

I jeszcze chyba barkuje jednego warunku dla punktu b bo z tego wyjdzie przedział, dla mnie powinien być jeszcze że iloczyn równy 0

[eresh]

no to w pierwszym chyba łatwo \(2\) i \(-2
\)
ale jak rozwiązać b) to chyba dalej nie zbyt wiem
na pewno \(\Delta >0 \) taka będzie dla \(m \in <-2, \frac{10}{3} > \)ale dalej nic.

z pierwszego wychodzi
\(\Delta=0\;\;\wedge\;\;t_0=0\\
m=-2\)

z drugiego:
\(\Delta>0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2<0\So \frac{-b}{a}<0\\
m=2
\)

I jeszcze chyba barkuje jednego warunku dla punktu b bo z tego wyjdzie przedział, dla mnie powinien być jeszcze że iloczyn równy 0

iloczyn równy zero oznacza jedynie to, że jednym z pierwiastków jest zero

[Pawm32]

z pierwszego wychodzi
\(\Delta=0\;\;\wedge\;\;t_0=0\\
m=-2\)

z drugiego:
\(\Delta>0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2<0\So \frac{-b}{a}<0\\
m=2
\)

I jeszcze chyba barkuje jednego warunku dla punktu b bo z tego wyjdzie przedział, dla mnie powinien być jeszcze że iloczyn równy 0

iloczyn równy zero oznacza jedynie to, że jednym z pierwiastków jest zero

no ale z tych warunków wyjdzie przedział, 2 nie wyjdzie z nich nigdy.
I dlaczego te warunki>???

[Jerry]

Przeczytaj, proszę, jeszcze raz mój post w tym wątku, ze zrozumieniem:

Proponuję:
Wielomian, dla \(x\in\rr\),
\( w(x)=x^4+(m+2)x^2+m^2-4=0\)
jest funkcją parzystą, zatem warunkiem koniecznym posiadania nieparzystej liczby pierwiastków jest
\(w(0)=0\)
Warunek ten spełniają \(m\in\{-2,2\}\)
Pozostaje sprawdzić, czy mamy jeden, czy trzy pierwiastki dla tych konkretnych wartości...

Pozdrawiam
PS. Filtrujcie, proszę, te cytaty... wątek przestaje być czytelny!

[Pawm32]

No tylko tak nie chcę, bo po pierwsze nie pamiętam tego (parzystość) a po drugie i ważniejsze w książce podobny przykład jest robiony przez zmienną i tak też chcę zrobić.
Tylko wogole nie widzę jak liczba rozwiązań pierwszego \(x^4+(m+2)x^2+m^2−4=0\) zależy od \(x^2=t\\
t^2+(m+2)t+m^2-4=0\)
widzę tyle że jak t będzie ujemne to będzie równanie sprzeczne i 0 rozwiązań, a kiedy będzie jedno, dwa, czy trzy, cztery, więcej chyba już nie będzie, nie mam pojęcia