Ekstrema lokalne funkcji

[Januszgolenia]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji (o ile istnieją) \(f(x)= \frac{|x^2+2x-3|}{x^2}\)

[Jerry]

Ponieważ
\(f(x)= \frac{|x^2+2x-3|}{x^2}=\left|\frac{x^2+2x-3}{x^2}\right|\wedge D=\rr\setminus\{0\}\)
to rozpatrzmy
\(y=g(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2}\wedge D_g=\rr\setminus\{0\}\)
1) \(\Lim_{|x| \to+\infty}g(x)=1\); \(\Lim_{x\to 0}g(x)=-\infty\)
skąd asymptoty wykreru funkcji
2) \(g(x)=0\iff x\in\{-3,1\}\)
3) \(g'(x)=\frac {-2x(x-3)}{x^4}\wedge D'_g=D_g\)
4) \(g'(x)=0\iff x=3\)
5) badając znak pochodnej dojdziemy do wniosku, że
\(g\searrow(-\infty;0)\wedge g\nearrow(0;3)\wedge g\searrow(3;+\infty)\)
i dla \(x=3\) \(g\) osiąga wartość maksymalną
Możemy zatem narysować wykres funkcji \(y=g(x)\) i następnie wykres \(y=f(x)=|g(x)|\)
zauważymy zaistnienie jeszcze dwóch minimów: dla \(x=-3\) i \(x=1\)

Pozdrawiam